混沌作為非線性動(dòng)力系統(tǒng)普遍存在的運(yùn)動(dòng)形式,是非線性科學(xué)研究的核心內(nèi)容之一.目前對于自治離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌理論的研究,已經(jīng)有了豐富的結(jié)果.由于現(xiàn)實(shí)世界中很多復(fù)雜的系統(tǒng),例如物理學(xué),生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)中的大多數(shù)模型,其中的參數(shù)往往會受外界因素的干擾,一般都會隨著時(shí)間的流逝而發(fā)生變化,所以必須用非自治系統(tǒng)才能更好的刻畫其模型的動(dòng)力學(xué)行為.因此目前很多學(xué)者開始研究非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性.本文研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的若干混沌問題,包括非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的性質(zhì),特別是李雅普諾夫指數(shù)的正負(fù)與系統(tǒng)敏感性和穩(wěn)定性的關(guān)系;非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌的性質(zhì)與判定;非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的一些混沌性質(zhì)之間的關(guān)系.本文首先研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的性質(zhì).我們知道李雅普諾夫指數(shù)同拓?fù)潇匾粯?可以從定量的角度來刻畫動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜程度.眾所周知,對于自治離散動(dòng)力系統(tǒng),正熵系統(tǒng)是在Li-Yorke意義下混沌的[12].如果利用李雅普諾夫指數(shù)來刻畫動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性,系統(tǒng)在一點(diǎn)處有正的李雅普諾夫指數(shù)是否蘊(yùn)含敏感性,有負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)是否蘊(yùn)含穩(wěn)定性呢?我們常常想當(dāng)然的認(rèn)為這個(gè)答案是肯定的.但是,在2001年,Demir與其合作者通過兩個(gè)例子說明了這個(gè)結(jié)論對于一般的區(qū)間映射不一定是對的[20].所以,研究李雅普諾夫指數(shù)的正負(fù)與系統(tǒng)敏感性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系是一個(gè)非常有趣的問題.在2010年,Kocak和Palmer得到了對于某些條件下的可微的區(qū)間映射,這個(gè)結(jié)論是成立的[40].受他們工作的啟發(fā),我們思考對于非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),這個(gè)問題的答案又是如何?在本文中,我們引入非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的概念,并且分別討論了正的李雅普諾夫指數(shù)與系統(tǒng)敏感性,負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系.本文接下來研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌.目前對于混沌沒有一個(gè)統(tǒng)一的定義,在離散動(dòng)力系統(tǒng)中常見的幾種混沌定義有Li-Yorke混沌,Devaney混沌,Wiggins混沌,generic混沌,稠混沌,分布混沌等.對于非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),在混沌領(lǐng)域方面也有了一些研究進(jìn)展.例如,田傳俊和陳關(guān)榮將Devaney混沌的概念推廣到了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中,并且研究了它的某些性質(zhì)[84].2009年,史玉明和陳關(guān)榮將混沌的相關(guān)概念,例如,拓?fù)鋫鬟f,敏感性,Li-Yorke,Wiggins,和Devaney意義下混沌等推廣到了一般的非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中,并且建立了一個(gè)由關(guān)于某一類不可約轉(zhuǎn)移矩陣的嚴(yán)格耦合擴(kuò)張所誘導(dǎo)的Li-Yorke混沌的判定準(zhǔn)則[74].但是對于分布混沌,目前結(jié)果較少,特別是在混沌判定方面.所以本文研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌和幾種弱意義下的分布混沌的性質(zhì),討論了分布混沌與Li-Yorke混沌之間的關(guān)系,并且給出了幾個(gè)分布混沌的判定準(zhǔn)則.在離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌領(lǐng)域方面,人們最常研究的兩個(gè)問題:其一,給出某些意義下的混沌判定準(zhǔn)則;其二,探討某些混沌性質(zhì)之間的關(guān)系.在本文最后,我們研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中一些常見的混沌性質(zhì)之間的關(guān)系.我們主要討論了弱混合,拓?fù)淙趸旌?generic混沌,稠混沌,敏感性,和Li-Yorke敏感性之間的一些關(guān)系.本文的具體安排如下:本文分為五章.第一章是預(yù)備知識.首先,我們引入本文的研究對象,即非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),之后依次回顧一下目前在自治離散動(dòng)力系統(tǒng)和非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌領(lǐng)域方面的一些研究進(jìn)展.其次,我們介紹一下本文用到的一些關(guān)于非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念.再次,我們在本文中引入非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中的幾種關(guān)系,然后討論一下這幾種關(guān)系的一些性質(zhì),并且給出相關(guān)的概念和引理.最后,我們給出序列密度的概念和相關(guān)引理,同時(shí)也介紹一下本文所用到的符號動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)知識.在第二章中,我們研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的相關(guān)性質(zhì),特別是李雅普諾夫指數(shù)的正負(fù)與系統(tǒng)敏感性和穩(wěn)定性的關(guān)系.首先,我們對非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)引入了一些新的概念,包括李雅普諾夫指數(shù),在一點(diǎn)和一個(gè)集合上的強(qiáng)敏感性,李雅普諾夫穩(wěn)定性,和指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定性.我們證明了對于一類非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),在某一點(diǎn)若有正的李雅普諾夫指數(shù),則系統(tǒng)在此點(diǎn)會出現(xiàn)強(qiáng)敏感性.利用類似的證明方法,我們證明了如果系統(tǒng)在一個(gè)完全不變集上有一致正的李雅普諾夫指數(shù),則系統(tǒng)在某些條件下在這個(gè)集合上是強(qiáng)敏感的.我們也證明了對于一類非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),若系統(tǒng)在某一點(diǎn)有負(fù)的李雅普諾夫指數(shù),則系統(tǒng)是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.最后我們給出一個(gè)具體的例子-非自治logistic系統(tǒng)來對我們的結(jié)果加以說明和應(yīng)用.在第三章中,我們研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌.首先在緊致度量空間中,我們證明了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)是Li-Yorke δ-混沌的等價(jià)于它是序列分布δ'-混沌的;其次,我們給出了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的三個(gè)分布δ-混沌的判定準(zhǔn)則,它們分別是由拓?fù)浠旌?平均漸近跟蹤性質(zhì),和某個(gè)擴(kuò)張條件所誘導(dǎo),其中δ和δ'是兩個(gè)正的常數(shù).再次,在一般的度量空間中,我們給出了一個(gè)由熊混沌集所誘導(dǎo)的序列分布混沌的判定準(zhǔn)則.自從分布混沌的概念提出后,一些學(xué)者又提出了三種弱意義下的分布混沌概念.在本章的最后一部分,我們考慮了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中的幾種弱意義下的分布混沌,即DC1,DC2,和DC21/2.我們證明了 DC1,DC2,和DC21/2在迭代作用下依然被保持.我們也證明了 DC1,DC2,和DC21/2在拓?fù)涞榷裙曹椬饔孟乱彩潜３值?這些結(jié)果推廣了自治情形下的某些結(jié)果并且減弱了某些相應(yīng)的條件.在第四章中,我們考慮了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中的若干混沌性質(zhì)之間的關(guān)系.首先我們研究了弱混合,拓?fù)淙趸旌?generic混沌,稠混沌,和初值敏感依賴性之間的關(guān)系,比較了它們之間的強(qiáng)弱.我們證明了對于可測的,且測度是滿支撐的非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),弱混合嚴(yán)格強(qiáng)于拓?fù)淙趸旌?在緊致度量空間中,拓?fù)淙趸旌闲再|(zhì)嚴(yán)格強(qiáng)于generic混沌;在完備度量空間中,genericδ-混沌和稠δ-混沌等價(jià);稠δ-混沌蘊(yùn)含初值敏感依賴性;在一般的非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中,拓?fù)淙趸旌闲再|(zhì)嚴(yán)格強(qiáng)于初值敏感依賴性等.然后,我們也給出了幾個(gè)初值敏感依賴性的一些等價(jià)條件,并且討論了敏感性和Li-Yorke敏感性之間的關(guān)系.在第五章中,我們對本文工作進(jìn)行總結(jié),并對未來工作有一些展望.
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O19
【文章目錄】：
中文摘要
英文摘要
符號說明
第一章 預(yù)備知識
    §1.1 引言
    §1.2 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的一些基本概念
    §1.3 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中的一些關(guān)系
    §1.4 序列密度和符號動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)理論
第二章 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)與敏感性和穩(wěn)定性的關(guān)系
    §2.1 引言
    §2.2 準(zhǔn)備工作
    §2.3 正的李雅普諾夫指數(shù)和敏感性的關(guān)系
    §2.4 負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)和穩(wěn)定性的關(guān)系
    §2.5 一個(gè)例子
第三章 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的分布混沌
    §3.1 引言
    §3.2 Li-Yorke δ-混沌和序列分布δ-混沌之間的關(guān)系
    §3.3 緊致度量空間中的三個(gè)分布混沌的判定準(zhǔn)則
    §3.4 一般度量空間中的一個(gè)序列分布混沌的判定準(zhǔn)則
    §3.5 幾種弱意義下的分布混沌
第四章 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)中的若干混沌性質(zhì)之間的關(guān)系
    §4.1 引言
    §4.2 準(zhǔn)備工作
    §4.3 若干混沌性質(zhì)之間的關(guān)系
    §4.4 敏感性和Li-Yorke敏感性
第五章 總結(jié)與展望
    §5.1 總結(jié)
    §5.2 展望
參考文獻(xiàn)
致謝
讀博期間發(fā)表和完成的論文
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1 盧天秀;朱培勇;吳新星;;非自治離散系統(tǒng)的分布混沌性[J];數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào);2015年03期

2 李健;譚楓;;關(guān)于Li-Yorke δ-混沌與按序列分布δ-混沌的等價(jià)性[J];華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2010年03期

3 ;Furstenberg family and chaos[J];Science in China(Series A:Mathematics);2007年09期

4 顧國生,熊金城;關(guān)于分布混沌的一點(diǎn)注記[J];華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2004年03期

5 楊潤生;按序列分布混沌與拓?fù)浠旌蟍J];數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2002年04期

本文編號：2874525