帶自相容源的可積系統(tǒng)和孤立子方程在數(shù)學和物理學中有重要的應用。近年來,可積系統(tǒng)和孤立子方程的帶自相容源拓展吸引了很多研究者的興趣。其中一種重要的擴展方法是平方特征函數(shù)對稱方法(或稱“ghost”流對稱),已經(jīng)在很多種可積系統(tǒng)上得以應用,例如通過平方特征函數(shù)對稱方法得到了擴展的B型Kadomtsev-Petviashvili方程族(簡稱擴展BKP方程族)。Darboux變換和雙Darboux變換,作為求解孤立子方程的重要工具之一,在平方特征函數(shù)對稱方法中也起到了非常重要的作用。在離散可積系統(tǒng)中,如離散KP方程,構(gòu)造出由特征函數(shù)和伴隨特征函數(shù)構(gòu)成的勢函數(shù)是實現(xiàn)雙Darboux變換的必要途徑。本文第一部分主要研究擴展BKP方程族的雙線性等式。對擴展BKP方程族,我們通過引入滿足平方特征函數(shù)對稱的輔助時間流,先對原BKP方程族附加上輔助時間流構(gòu)造了雙線性留數(shù)恒等式,再將輔助時間流結(jié)合到特定某個時間流上形成擴展BKP方程族,最終得到了擴展BKP方程族的雙線性恒等式。我們在定義了擴展BKP方程族的τ-函數(shù)后,由雙線性恒等式生成了擴展BKP方程族的Hirota雙線性方程的零曲率形式,并計算了一些特定指標下的例子,這些例子包括兩類帶自相容源的(2+1)-維Sawada-Kotera方程的雙線性方程。這其中的第二型帶自相容源的(2+1)-維Sawada-Kotera方程(2d-SKw S-II)的Hirota雙線性方程是一個新結(jié)果。我們對得到的雙線性方程給出了轉(zhuǎn)寫為非線性偏微分方程的方法,也計算了一些例子,這驗證了我們得到的結(jié)果的正確性。這些雙線性方程是之后的求n-孤立子解、擬周期解等研究工作的基礎(chǔ)。本文第二部分主要構(gòu)造了擴展的非交換離散KP方程。我們通過離散變量的勢函數(shù)推導出了離散變量的非交換離散KP方程的雙Darboux變換的具體表達式和多次迭代雙Darboux變換的擬行列式表達。我們通過平方特征函數(shù)對稱性質(zhì),以雙Darboux變換為工具,對某個特定方向上的移位算子進行了修正,從而擴展了非交換離散KP方程。我們給出了帶自相容源的非交換離散KP方程的線性問題及其伴隨線性問題的具體表達式,并給出了退化至交換情形的帶自相容源的離散KP方程的方法。本文得到的帶相容源的非交換離散KP方程是先前的研究中未曾提出的,在接下來的研究中我們可以考慮求得其精確解的表達式。
【學位單位】：清華大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2015
【中圖分類】：O175.29
【文章目錄】：
摘要
Abstract
主要符號對照表
第1章 引言
    1.1 選題背景及意義
    1.2 文獻綜述
    1.3 文章各部分的主要內(nèi)容
第2章 預備知識
    2.1 重要引理
    2.2 擬行列式簡介
第3章 擴展BKP方程族的雙線性恒等式構(gòu)造
    3.1 擴展BKP方程族簡介
    3.2 帶平方特征函數(shù)對稱的BKP方程族的雙線性恒等式
    3.3 擴展BKP方程族的雙線性恒等式
    3.4 擴展BKP方程族的τ函數(shù)及雙線性方程
    3.5 將雙線性方程轉(zhuǎn)寫為非線性偏微分方程
第4章 非交換離散KP方程的帶自相容源拓展
    4.1 非交換離散KP方程及其雙Darboux變換
    4.2 非交換離散KP方程的擬行列式解
    4.3 帶自相容源的非交換離散KP方程
第5章 結(jié)論
    5.1 論文的主要工作
    5.2 進一步開展的工作
參考文獻
致謝
個人簡歷、在學期間發(fā)表的學術(shù)論文與研究成果

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本文編號：2874488