隨著科學和工程技術的發(fā)展,越來越多的領域提出了對復雜問題高性能數(shù)值計算的要求.比如對于機械工程、材料科學、航空航天和衛(wèi)星遙感等在各種實際條件下的形態(tài)以及行為做出更精確的模擬及進一步的預測.對這些復雜系統(tǒng)做更精確的模擬則需要更復雜的如非局部和非線性的抽象模型,比如不滿足Fick定律的反常擴散現(xiàn)象在自然科學和社會科學中是大量存在的,需要采用具有歷史依賴和非局部性質的分數(shù)階微分算子來進行模擬.這些非局部和非線性復雜模型在數(shù)值求解時又往往會形成一個大規(guī)模且稠密的離散系統(tǒng),如何快速求解這樣的大規(guī)模問題或者降低問題的規(guī)模成為當前日益關注的問題.下面介紹本文的工作.第一部分、分數(shù)階微分方程的相關模型及其數(shù)值方法與應用在自然現(xiàn)象中,不混溶的液相、液相與氣相、氣相與固相、以及液相與固相是普遍存在的.不混溶相的界面動力學在多相系統(tǒng)的形成與相變機制以及演化中起著非常重要的作用,但是在建模和數(shù)值求解計算上都是一項非常困難的任務.有效描述多相系統(tǒng)的可計算數(shù)學模型的發(fā)展和相應的有效且高效的數(shù)值方法已經成為多相系統(tǒng)研究中的主要挑戰(zhàn).另一方面,由于分數(shù)階微積分具有的歷史依賴與非局部的特性比較適合諸如反常擴散中的記憶和非局部等性質,因此分數(shù)階方程比整數(shù)階方程更能有效的描述這些復雜系統(tǒng).隨著涉及的應用領域越來越多,分數(shù)階微積分方程的研究逐漸成為一個新的活躍領域.在理論分析和數(shù)值模擬等多方面,分數(shù)階方程為描述復雜現(xiàn)象提供新的視角和工具,但同時帶來了很多新的挑戰(zhàn).我們考慮了如下的幾個問題:1.相場模型的分數(shù)階建模與快速算法·時空分數(shù)階Allen-Cahn模型及其數(shù)值算法.Allen-Cahn模型可以用于描述如凝固及結晶等物理問題中多相變化過程,通過將經典模型中的拉普拉斯算子替換為分數(shù)階拉普拉斯算子可以在界面厚度參數(shù)較大的情況下能夠靈活地控制調節(jié)界面銳度來更精確地跟蹤界面演化,同時還引入時間分數(shù)階導數(shù)來描述模型的長時間記憶或延遲效應.我們提出了一個預條件的快速及節(jié)約存儲的數(shù)值格式,計算量由直接解法的O(NV3)降至O(NVlogN),存儲量由O(NV2)降至O(N),可以快速地求解大規(guī)模系統(tǒng).并且初步研究了時空分數(shù)階參數(shù)的變化對該模型的銳度和延遲效應的影響,數(shù)值實驗驗證了該模型具有良好的建模能力可以更好地跟蹤界面演化.·空間分數(shù)階Allen-Cahn模型及其二階無條件能量穩(wěn)定的數(shù)值算法.由于模型中包含的非線性勢函數(shù)項和分數(shù)階微分算子導致的復雜性,尚未有文獻提出具有嚴格證明的無條件能量穩(wěn)定的高效且精確的數(shù)值計算格式.而我們采用不變能量二次化方法,引入輔助變量來保證自由能密度是一個不變的二次泛函,得到等價模型,通過半顯式處理非線性項,構造了一階和二階半離散格式,其方程組由每個時刻上的線性分數(shù)階拉普拉斯方程構成,由于系數(shù)矩陣算子是對稱正定的,從而可以有效求解半離散系統(tǒng).我們進一步證明采用這種方法所提出的數(shù)值格式是無條件能量穩(wěn)定的,在采用節(jié)點配置法進行空間離散得到全離散格式后,通過數(shù)值實驗驗證了該數(shù)值算法的穩(wěn)定性和準確性.2.形狀記憶聚合物分數(shù)階建模與算法·形狀記憶聚合物的變階分數(shù)階微分方程模型及其數(shù)值算法.形狀記憶聚合物能夠記憶其原始形狀,可以在形變時獲得暫時形狀并且響應外部刺激而恢復到其永久形狀.描述其形狀記憶效應的早期模型是結合描述理想固體的胡克定律和描述理想流體的牛頓粘性定律得到的,而考慮到形狀記憶聚合物的形狀可以響應外部刺激溫度的波動而產生巨大的變化,并反應在其微觀網(wǎng)絡結構上,因此變階分數(shù)階微分方程模型更適合描述形狀記憶效應.對于該模型我們構造了數(shù)值格式求解給定可變階數(shù)的正問題,而由于實際中可變階數(shù)的未知性,我們還研究了其反問題,即通過物理數(shù)據(jù)來確定可變階數(shù),并通過自適應方法保證其精度.數(shù)值實驗驗證了模型的模擬效果及數(shù)值格式的有效性.第二部分、最優(yōu)控制問題及其數(shù)值方法最優(yōu)控制問題可以概括為:對一個受控的系統(tǒng),從已有的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案,使得目標性能指標值達到最優(yōu).在一定的條件下,投入最少的成本,獲得最大的收入和利益,這普遍存在于工程、金融、醫(yī)藥等眾多實際應用領域的模型中.本文中我們研究了帶有點態(tài)控制受限的受橢圓偏微分方程約束的最優(yōu)控制問題的自適應有限元方法.·自適應有限元方法具有諸多優(yōu)點,能夠根據(jù)局部誤差指示子自動判斷并在誤差最大處進行加密,提高了計算精度和效率,以及通過誤差估計給出計算結果的誤差范圍等.最優(yōu)控制問題自適應有限元方法的收斂率理論分析較少,而且已有算法需要外層自適應加密迭代和內層求非線性問題迭代兩層迭代,對于內迭代的誤差及大量的計算工作在于反復求解非線性問題等方面沒有考慮.我們采用變分離散方式離散控制變量以及分片線性連續(xù)函數(shù)逼近狀態(tài)變量,提出了一個收斂并節(jié)省計算量的自適應有限元算法,該算法僅含一層加密迭代,即內層非線性迭代僅需迭代一次,有效地節(jié)省了計算量.基于對該問題的后驗誤差估計以及數(shù)據(jù)振蕩的縮減,得到了算法的整體收斂性并證明其具有線性收斂速率,并通過一些數(shù)值實驗驗證了理論結果.
【學位單位】：華東師范大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【部分圖文】：

１．１．２相場模型??在自然界中，不混溶的液相、液相與氣相、氣相與固相、以及液相與固相是??普遍存在的（圖１．１）．不混溶相的界面動力學在多相系統(tǒng)的形成與相變機制以及演??化中起著非常重要的作用丨３６，?６１，?９６Ｕ旦是在求解計算上是一項非常困難的任務．??有效描述多相系統(tǒng)的可計算數(shù)學模型的發(fā)展和相應的有效且高效的數(shù)值方法已經??成為多相系統(tǒng)研究中的主要挑戰(zhàn)．??比如在描述凝固及結晶等過程中常用的物理界面模型可以分為兩類：自由邊??界模型和相場模型．自由邊界模型采用尖銳界面近似，即假定不同相的交界面厚度??為零，在整個區(qū)域內非此即彼，相變在瞬間完成，每一個相都遵守自己的守恒定律??和本構關系，不同相的相互作用由界面上施加的邊界條件決定，不同相的物理量在??界面上可能是不連續(xù)的丨１７，?７３，?１６５］．關于自由邊界模型已經有多種不同的數(shù)值方??法來數(shù)值模擬，包括前沿跟蹤方法丨７３，?１７０］和移動網(wǎng)格法丨５１，?８６］等．在數(shù)值求解??時，自由邊界模型需要將不同的相分開處理，并且還要跟蹤界面的演化，這在數(shù)值??上是很困難的

圖１．４：尖銳界而與擴散界而對比．??

當，一o.i,T二
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本文編號：2873596