隨著代數(shù)編碼理論以及糾錯碼理論的飛快發(fā)展,而有限環(huán)上該理論基礎在理論和實際應用中都有著越來越重要的研究意義,尤其是在信息安全方面的應用逐漸被人們認可.本文在已有環(huán)上編碼理論研究的前提下,進一步研究有限環(huán)上線性碼的重量分布、MacWilliams恒等式、跡碼、常循環(huán)碼、二次剩余碼、自對偶準扭碼、LCD準扭碼以及有限域上自對偶雙(或4)-負循環(huán)碼、自對偶廣義準循環(huán)碼.具體內容如下:1、研究了有限非鏈環(huán)F2[v,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上線性碼的重量分布和MacWilliams恒等式.定義了該環(huán)上的Gray映射和Lee重量、對稱重量、Hamming重量、完全重量計數(shù)器,首先研究了該環(huán)上線性碼的Gray像以及像碼與其對偶碼之間的關系.最后給出了該環(huán)上線性碼和其對偶碼之間關于完全重量計數(shù)器和對稱重量計數(shù)器的MacWilliams恒等式.2、研究了有限非鏈環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp上的跡碼及其像碼.通過考慮兩種不同的定義集以及該環(huán)上的Gray映射,利用高斯和計算該環(huán)上線性碼的重量分布情況,得到了兩類p-元2-重量碼和兩類p-元3-重量碼,并討論了這兩類碼在秘鑰共享方案中的應用.3、研究了有限非鏈環(huán) Z4[u]/u2-1和 Fp[u,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上一類特殊的常循環(huán)碼.首先研究了環(huán)Z4[u]/u2-1上(1+2u)-常循環(huán)碼的一些非常有興趣的性質以及生成多項式,定義了該環(huán)上的Gray映射,并且借助Magma數(shù)學軟件得到了比已有文獻以及碼表中參數(shù)更好的線性碼.其次研究了環(huán)Fp[u,v]/u2-1,v3-v,uv-vu上的(1-2v2)-常循環(huán)碼,利用中國剩余定理討論該環(huán)上常循環(huán)碼的結構.通過給定的Gray映射,研究了該環(huán)上常循環(huán)碼的相關性質.4、研究了有限非鏈環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp+v2Fp+uv2Fp上的二次剩余碼,利用中國剩余定理和冪等生成元定義了該環(huán)上的二次剩余碼,進一步討論了該環(huán)上二次剩余碼與其擴展碼之間的關系.5、研究了有限域上指數(shù)為2(或4)的自對偶負循環(huán)碼.首先研究了xn+1(n是奇數(shù)的兩倍)在域Fq上的一類特殊分解.其次,給出自對偶雙負循環(huán)碼和自對偶4-負循環(huán)碼的準確計數(shù).最后討論了這兩類碼的漸近性.6、研究了有限鏈環(huán)Fq[u]/uk上長度為2m的自對偶準扭碼和LCD準扭碼.首先,通過研究xm-λ的特殊分解,得到自對偶雙-λ循環(huán)碼和LCD雙λ-循環(huán)碼的精確計數(shù).最后,針對不同的分解,得到四類自對偶準扭碼和四類LCD準扭碼,這些碼的相對距離都可以達到修訂的Gilbert-Varshamov界.7、研究了有限域上好的廣義自對偶準循環(huán)碼的存在性.主要利用Cubic構造和Quintic構造方法分別構造了兩類不同長度的二元碼,并定義兩種不同的映射映到該線性碼上.最后,研究了長二元自對偶廣義準循環(huán)碼的漸近性.
【學位單位】：安徽大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O157.4
【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第一章 緒論
    1.1 研究背景
    1.2 本文的主要內容及安排
    1.3 符號說明
第二章 預備知識
    2.1 有限環(huán)上的線性碼
    2.2 有限環(huán)上的循環(huán)碼
    2.3 高斯（Gaussian）和以及勒讓德（Legendre）符號
    2.4 線性碼的秘鑰共享方案
    2.5 碼的漸近性
    2.6 本章小結
1=F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上線性碼的重量計數(shù)器和MacWilliams恒等式¹'>第三章 環(huán)R₁=F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上線性碼的重量計數(shù)器和MacWilliams恒等式1

    3.1 環(huán)F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上線性碼的結構及其Gray像
2[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上線性碼的MacWilliams恒等式'>    3.2 環(huán)F₂[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu>上線性碼的MacWilliams恒等式
    3.3 應用舉例
    3.4 本章小結
2=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的跡碼²'>第四章 環(huán)R₂=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的跡碼²

    4.1 基本知識
p+uF_p+vF_p+uvF_p上跡碼的重量分布'>    4.2 環(huán)F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上跡碼的重量分布
    4.3 對偶碼的最小距離
p+uF_p+vF_p+uvF_p上跡碼的應用'>    4.4 環(huán)F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上跡碼的應用
    4.5 本章小結
第五章 兩類有限非鏈環(huán)上的常循環(huán)碼
3=Z₄[u]/2-1>上的常循環(huán)碼³'>    5.1 環(huán)R₃=Z₄[u]/2-1>上的常循環(huán)碼³

        5.1.1 基本知識
4[u]/2-1>上的（1+2u）-常循環(huán)碼'>        5.1.2 環(huán)Z₄[u]/2-1>上的（1+2u）-常循環(huán)碼
        5.1.3 計算結果
4=F_p[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu)上的常循環(huán)碼⁴'>    5.2 環(huán)R₄=F_p[u,v]/2-1,v³-v,uv-vu)上的常循環(huán)碼⁴

        5.2.1 基本知識
p+uF_p+ vF_p+ uvF_p+v2^{F
p+uv2F_p上的（1一2v2）-常循環(huán)碼'>        5.2.2 環(huán)F_p+uF_p+ vF_p+ uvF_p+v2F
p+uv2F_p上的（1一2v2）-常循環(huán)碼
        5.2.3 應用舉例
    5.3 本章小結
4=F_p[u,v]/2-1,v3-v,uv-vu>上的二次剩余碼5'>第六章 環(huán)R₄=F_p[u,v]/2}-1,v³-v,uv-vu>上的二次剩余碼⁵

    6.1 基本知識
p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²Fp+uv²F_p上的循環(huán)碼'>    6.2 環(huán)F_p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²Fp+uv²F_p上的循環(huán)碼
p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²F_p+uv²F_p上的二次剩余碼'>    6.3 環(huán)F_p+uF_p+vF_p+uvF_p+v²F_p+uv²F_p上的二次剩余碼
p+uF_p+vF_p+vvF_p+v²F_p+vv²F_p上的擴展二次剩余碼'>    6.4 環(huán)F_p+uF_p+vF_p+vvF_p+v²F_p+vv²F_p上的擴展二次剩余碼
    6.5 應用舉例
    6.6 本章小結
6'>第七章 有限域上指數(shù)為2或為4的自對偶負循環(huán)碼⁶

    7.1 基本知識
n+1在域F_q上的一類特殊分解'>    7.2 多項式xⁿ+1在域F_q上的一類特殊分解
    7.3 自對偶雙負循環(huán)碼（或4-負循環(huán)碼）的準確計數(shù)
    7.4 自對偶雙負循環(huán)碼（或4-負循環(huán)碼）的漸近性
    7.5 本章小結
7'>第八章 有限鏈環(huán)上指數(shù)為2的自對偶準扭碼和LCD準扭碼⁷

    8.1 基本知識
    8.2 指數(shù)為2的λ-循環(huán)碼的代數(shù)結構
        8.2.1 雙循環(huán)碼（λ=1）
        8.2.2 雙負循環(huán)碼（λ=-1）
t）'>        8.2.3 指數(shù)為2的準扭碼（λ=1+ωγ^t）
    8.3 主要結論
    8.4 本章小結
8'>第九章 好的自對偶廣義準循環(huán)碼的存在性⁸

    9.1 基本知識
    9.2 組合界
        9.2.1 Cubic構
        9.2.2 Quintic構造
    9.3 漸近界
        9.3.1 Cubic碼
        9.3.2 Quintic碼
        9.3.3 GQC碼
    9.4 本章小結
第十章 總結與展望
    10.1 總結
    10.2 展望
參考文獻
致謝
攻讀碩士學位期間的學術活動及科研成果

【參考文獻】

相關期刊論文 前4條

1 SHI Minjia;WANG Dandan;GAO Jian;WU Bo;;Construction of One-Gray Weight Codes and Two-Gray Weight Codes over Z_4+uZ_4[J];Journal of Systems Science & Complexity;2016年05期

2 李平;李珊珊;唐永生;;環(huán)Z4+uZ4線性碼關于李重量的一類MacWilliams恒等式[J];電子學報;2015年12期

3 LIU Xiusheng;LIU Hualu;;Macwilliams Identities of Linear Codes over the Ring F_2+ uF_2+ vF_2[J];Journal of Systems Science & Complexity;2015年03期

4 SHI Minjia;;Optimal p-ary Codes from Constacyclic Codes over a Non-chain Ring R[J];Chinese Journal of Electronics;2014年04期

本文編號：2873577

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