大規(guī)模線(xiàn)性(代數(shù))系統(tǒng)來(lái)源于很多的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,如計(jì)算流體力學(xué)、電磁場(chǎng)計(jì)算、約束優(yōu)化、數(shù)字圖像處理和偏微分方程數(shù)值離散等.線(xiàn)性系統(tǒng)的求解對(duì)整個(gè)應(yīng)用問(wèn)題的解決具有至關(guān)重要的作用,其數(shù)值解法研究是科學(xué)與工程計(jì)算的核心問(wèn)題之一,具有十分重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.面對(duì)實(shí)際問(wèn)題中結(jié)構(gòu)各異的線(xiàn)性系統(tǒng),如何充分利用各自的特殊結(jié)構(gòu)和性質(zhì)來(lái)設(shè)計(jì)穩(wěn)定、高效的求解方法是現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算的重要方面,也是國(guó)內(nèi)外數(shù)值工作者和工程技術(shù)人員研究的熱點(diǎn).本文研究了偏微分方程離散產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)值解法.重點(diǎn)關(guān)注具有鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)和Toeplitz結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性系統(tǒng),通過(guò)研究直接法、矩陣分裂迭代法、Krylov子空間方法和預(yù)處理技術(shù)等,提出了一些快速、穩(wěn)定的迭代解法和預(yù)處理子.全文分為七章.第一章主要介紹了鞍點(diǎn)和Toeplitz結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的背景和研究意義,對(duì)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述,并概述了本文的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn).第二章研究了偏微分方程離散產(chǎn)生的非Hermitian鞍點(diǎn)問(wèn)題的有效解法.我們?cè)谝刖仃囎儞Q對(duì)鞍點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行降維的基礎(chǔ)上,根據(jù)低維子線(xiàn)性系統(tǒng)系數(shù)矩陣的非Hermitian性,通過(guò)對(duì)鞍點(diǎn)問(wèn)題的(1,1)-塊矩陣進(jìn)行Hermitian和反Hermitian分裂(HSS),提出了基于HSS的非耦合迭代法.該方法通過(guò)降維和矩陣分裂迭代技術(shù)有效的提高了計(jì)算效率.理論研究了迭代法的收斂性,數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了新方法的有效性和穩(wěn)定性.第三章將廣義局部Hermitian和反Hermitian分裂(GLHSS)迭代法推廣用于求解具有塊2×2結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性系統(tǒng).重點(diǎn)考慮了系數(shù)矩陣(1,2)-塊與(2,1)-塊的共軛轉(zhuǎn)置不相等或(2,2)-塊是Hermitian正定(HPD)矩陣的情形.同時(shí),我們還討論了迭代參數(shù)矩陣的選取及其對(duì)迭代法求解效率的影響.通過(guò)選取合適的參數(shù)矩陣,將一些已有迭代法(如局部HSS(LHSS)迭代和修正的局部HSS迭代法(MLHSS)等)統(tǒng)一表述,同時(shí)提出了幾個(gè)新的迭代法.理論分析了推廣方法的收斂性,數(shù)值試驗(yàn)證明了其有效性.第四章研究了差分離散偏微分方程所得到的鞍點(diǎn)和Toeplitz結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)值解法.充分利用系數(shù)矩陣所具有的Toeplitz結(jié)構(gòu),提出了一個(gè)新的矩陣分裂—循環(huán)剩余分裂,結(jié)合鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)提出了局部循環(huán)剩余分裂(LCRS)迭代法求解鞍點(diǎn)問(wèn)題,并進(jìn)一步考慮使用LCRS分裂矩陣作為預(yù)處理子來(lái)加速GMRES方法的收斂速度.新方法能夠借助快速Fourier變換實(shí)現(xiàn)循環(huán)矩陣對(duì)角化和Toeplitz矩陣與任意向量乘積的快速計(jì)算,節(jié)省迭代法和預(yù)處理子的計(jì)算量,提高計(jì)算效率.理論分析了LCRS迭代法的收斂性及其預(yù)處理子的有效性,數(shù)值試驗(yàn)表明LCRS迭代法及其預(yù)處理子加速GMRES方法在CPU時(shí)間方面有出色的表現(xiàn).第五章研究了Crank-Nicholson離散分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程得到的Toeplitz結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)值求解方法.基于Lin(2014)提出的帶狀預(yù)處理子,我們提出了基于Strang和T.Chan循環(huán)近似的預(yù)處理子來(lái)加速CGNR和GMRES方法.新的預(yù)處理子能夠充分利用快速Fourier變換實(shí)現(xiàn)預(yù)處理線(xiàn)性系統(tǒng)的快速求解,大大提高了計(jì)算效率.在擴(kuò)散系數(shù)是非負(fù)函數(shù)的情形下證明了新預(yù)處理子的可逆性,在擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù)的情形下證明了預(yù)處理矩陣的譜聚集性.數(shù)值試驗(yàn)表明了基于循環(huán)近似的預(yù)處理子的迭代次數(shù)多于帶狀預(yù)處理子,但CPU時(shí)間明顯少于后者,而這恰恰就是循環(huán)預(yù)處理子的優(yōu)勢(shì)所在.第六章研究了有限體積法離散分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程得到的Toeplitz結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)值求解方法.為進(jìn)一步提高Wang(2013)提出的對(duì)角矩陣乘對(duì)稱(chēng)正定Toeplitz矩陣形式的預(yù)處理子的計(jì)算效率,我們提出了兩個(gè)基于Strang循環(huán)近似、-循環(huán)近似的預(yù)處理子和兩個(gè)基于Strang反循環(huán)近似、-反循環(huán)近似的預(yù)處理子來(lái)加速共軛梯度類(lèi)迭代法的收斂性.理論分析了四個(gè)預(yù)處理子的可逆性,數(shù)值試驗(yàn)表明預(yù)處理子加速共軛梯度正規(guī)殘量法(CGNR),共軛梯度平方法(PCGS)和穩(wěn)定的雙共軛梯度法(Bi CGStab)效果非常明顯.同時(shí),對(duì)穩(wěn)態(tài)Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和測(cè)試的迭代法而言,基于循環(huán)近似的兩個(gè)預(yù)處理子和基于反循環(huán)近似的兩個(gè)預(yù)處理子的預(yù)處理效果沒(méi)有明顯差別.第七章對(duì)全文做了總結(jié)并對(duì)以后工作進(jìn)行了展望.
【學(xué)位單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2016
【中圖分類(lèi)】：O241.6
【文章目錄】：
中文摘要
英文摘要
第一章 緒論
    1.1 問(wèn)題的背景及研究的意義
    1.2 鞍點(diǎn)問(wèn)題數(shù)值解法
    1.3 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中Toeplitz系統(tǒng)的數(shù)值解法
    1.4 本文的研究?jī)?nèi)容、研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)
    1.5 本文的結(jié)構(gòu)安排
第二章 基于HSS的非耦合迭代法求解鞍點(diǎn)問(wèn)題
    2.1 引言
    2.2 基于HSS的非耦合迭代法
    2.3 數(shù)值試驗(yàn)
    2.4 本章小結(jié)
    附表
第三章 廣義局部HSS迭代法求解塊2×2線(xiàn)性系統(tǒng)
    3.1 引言
    3.2 GLHSS迭代法的推廣
    3.3 特殊的GLHSS方法
    3.4 數(shù)值試驗(yàn)
    3.5 本章小結(jié)
    附表
第四章 局部循環(huán)剩余分裂迭代法求解Toeplitz結(jié)構(gòu)鞍點(diǎn)問(wèn)題
    4.1 引言
    4.2 循環(huán)剩余迭代法
    4.3 局部循環(huán)剩余迭代法
    4.4 Krylov子空間加速
    4.5 數(shù)值試驗(yàn)
    4.6 本章小結(jié)
    附表
第五章 基于循環(huán)近似的預(yù)處理子加速求解FDE
    5.1 引言
    5.2 Crank-Nicholson離散分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程
    5.3 基于循環(huán)近似的預(yù)處理子
    5.4 預(yù)處理矩陣的譜
    5.5 數(shù)值試驗(yàn)
    5.6 本章小結(jié)
第六章 基于循環(huán)與反循環(huán)近似的預(yù)處理子加速求解FDE
    6.1 引言
    6.2 有限體積法離散Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程
    6.3 基于循環(huán)近似和反循環(huán)近似的預(yù)處理子
        6.3.1 基于循環(huán)近似和反循環(huán)近似的預(yù)處理子的構(gòu)建
        6.3.2 預(yù)處理子的可逆性
        6.3.3 快速計(jì)算
    6.4 數(shù)值試驗(yàn)
    6.5 本章小結(jié)
    附表
第七章 總結(jié)與展望
    7.1 總結(jié)
    7.2 展望及未來(lái)工作
參考文獻(xiàn)
在學(xué)期間的研究成果
致謝

【參考文獻(xiàn)】

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3 ;THE RESTRICTIVELY PRECONDITIONED CONJUGATE GRADIENT METHODS ON NORMAL RESIDUAL FOR BLOCK TWO-BY-TWO LINEAR SYSTEMS[J];Journal of Computational Mathematics;2008年02期

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本文編號(hào)：2868377