小波分析的理論研究是小波分析的實際應用的強大支撐,由于實際應用的要求和數(shù)學學科本身的發(fā)展,人們根據(jù)需要構(gòu)造出不同的小波.然而在實際應用過程中,我們發(fā)現(xiàn)對于2尺度小波,除了 Haar小波以外,其他的單小波不會同時具有正交性、對稱性、緊支撐性等良好性質(zhì).但是研究小波的突破點就是研究小波的正交性、對稱性、緊支撐性等性質(zhì).由于單小波存在這方面的不足,人們已經(jīng)引入了多小波的概念并且在多尺度函數(shù)和多小波方面投入大量的研究工作.多小波相對于之前的標量小波具有較多的優(yōu)越性,它能夠?qū)⒂梢粋�尺度函數(shù)生成的多尺度空間擴展成由多個尺度函數(shù)生成的空間,由此可以得到更大的自由度.這樣不僅保持了單小波所具備的良好的時頻域的局部化特性還可以同時具有正交性、緊支撐性和對稱性等性質(zhì).有關(guān)小波與多小波理論的研究不斷地出現(xiàn)新的結(jié)果,使之獲得了更廣泛的應用.楊守志教授首先引出了雙向加細函數(shù)和雙向小波的概念,并且在一維的基礎(chǔ)上研究說明了雙向加細函數(shù)的正負面具的相關(guān)情況,給出了兩尺度雙向加強方程L2穩(wěn)定解能生成一個MRA所需要的條件,并對兩尺度雙向加強方程所確定的雙向加細函數(shù)的支撐區(qū)間進行了充足地討論以及給出了正交雙向加細函數(shù)和對應的正交雙向小波的定義.基于局部緊的阿貝爾群上建立多分辨分析又是小波理論的基本概念之一.目前已有學者描繪了在局部緊的阿貝爾群上建立小波分析,首例基于康托爾二元群上構(gòu)造正交小波的描繪已經(jīng)呈現(xiàn)出來,并且其上具有良好的多重分形結(jié)構(gòu).本文闡述了有關(guān)小波分析的發(fā)展歷程以及學者對于單小波、多小波和雙向小波等方面所作的研究工作,隨后介紹了基于阿貝爾群上的小波分析理論相應的研究工作,詳細介紹了阿貝爾群上的相關(guān)概念和必要的記號說明以及阿貝爾群上的傅里葉變換以及沃爾什變換,提出了基于阿貝爾群上建立多分辨分析結(jié)構(gòu)及其滿足的性質(zhì)特征.本文著重給出了基于阿貝爾群上的雙向加細方程定義,討論了雙向加細方程有解的情況并給出相應的定理,并在此基礎(chǔ)上給出了雙向加細方程分布解能夠生成一個雙向多分辨分析所需要的條件.最后,將雙向多分辨分析推廣到二維阿貝爾群上,進一步豐富了群上的小波理論.
【學位單位】：陜西師范大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O174.2
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 緒論
    1.1 小波分析的發(fā)展過程
    1.2 阿貝爾群上小波理論的相關(guān)研究工作
    1.3 多分辨分析
    1.4 本文的章節(jié)安排
第2章 阿貝爾群G上的多分辨分析
    2.1 基本概念及相關(guān)記號
    2.2 阿貝爾群G上的傅里葉變換
    2.3 阿貝爾群G上的沃爾什變換
    2.4 阿貝爾群G上的多分辨分析
第3章 阿貝爾群G上的雙向多分辨分析
    3.1 雙向加細方程
    3.2 雙向多分辨分析
第4章 二維阿貝爾群上的雙向多分辨分析
    4.1 二維阿貝爾群上的多分辨分析
    4.2 二維阿貝爾群上的雙向多分辨分析
論文總結(jié)
參考文獻
致謝
攻讀碩士學位期間的研究成果

【參考文獻】

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3 李萬社;羅立娑;李俏;;正交對稱緊支撐雙向小波的構(gòu)造[J];汕頭大學學報(自然科學版);2011年01期

4 李萬社;郝偉;蒙少亭;;a尺度正交雙向小波的Mallat算法[J];陜西師范大學學報(自然科學版);2010年03期

5 周漢軍;李萬社;;雙向加細函數(shù)和雙向Riesz基小波的刻劃[J];紡織高�；A(chǔ)科學學報;2008年04期

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7 楊守志;李尤發(fā);;具有高逼近階和正則性的雙向加細函數(shù)和雙向小波[J];中國科學(A輯:數(shù)學);2007年07期

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本文編號：2867952