緊性是拓撲學中最重要的性質(zhì)之一,是拓撲學的中心概念,同時在幾何、分析、動力系統(tǒng)等其它數(shù)學領(lǐng)域具有廣泛的應用.作為緊性概念自然推廣,極小性、準緊、偽緊、可數(shù)緊等性質(zhì)也在拓撲學中具有重要的地位和作用.同時我們還可以看到這些概念廣泛出現(xiàn)在幾何、分析、數(shù)論以及拓撲中.另一方面,拓撲群論與抽象調(diào)和分析、拓撲動力系統(tǒng)、李群、表示論以及數(shù)論有密切的聯(lián)系,為這些學科的發(fā)展提供了堅實的基礎(chǔ)以及廣闊的空間.因此討論各種弱緊性在拓撲群中的應用就是一件有意義的事情.本文主要側(cè)重于弱緊性概念在拓撲群上的應用,推廣了早期在拓撲群中得到的關(guān)于緊性和Bohr緊化的經(jīng)典結(jié)果.最后我們還提出了有待繼續(xù)研究的問題.具體內(nèi)容如下:第一章我們給出了拓撲群τ-準緊Hausdorff群反射的三種不同構(gòu)造.特別地,我們給出了 ω-narrow Hausdorff群反射以及準緊Hausdorff群反射的簡單構(gòu)造,進而給出了緊Hausdorff群反射的構(gòu)造.同時我們證明了相應的τ-準緊Hausdorff群反射函子保持完備滿態(tài)射,商映射,任意乘積.最終我們推導出緊反射函子保持任意乘積.第二章我們主要推廣了Prodanov的p-adic整數(shù)群的刻畫定理(即無限緊交換群的任意子群是極小的當且僅當該無限緊子群拓撲同構(gòu)于某個p-adic整數(shù)群),得到了以下形式的結(jié)果:“局部緊交換群的任意子群是局部極小的當且僅當該局部緊群是李群或者有個開子群拓撲同構(gòu)于某個p-adic整數(shù)群.”對于非交換的情形,我們證明了連通局部緊群的任意子群是局部極小的當且僅當該局部緊群是李群.該結(jié)果將局部極小性和經(jīng)典概念李群和p-adic整數(shù)群緊密地聯(lián)系在一起.第三章我們討論拓撲群的CSS類的性質(zhì).該方向的一個主要問題是CSS類拓撲群是否是有限可乘的.我們給出了這個問題的否定回答,在不同的附加條件下給出三個不同的例子.首先在ZFC公理體系下,我們構(gòu)造了CSS類中的兩個準緊拓撲群,使得它們的乘積不屬于CSS類.其次我們在2ω1 = 2ω的假設(shè)下,構(gòu)造了CSS類中的一個偽緊拓撲群G,使得G×G不屬于CSS類.該構(gòu)造改進了A.Leiderman以及Tkachenko的一個結(jié)果.他們之前構(gòu)造了CSS類中的兩個偽緊拓撲群G和H,使得G ×H不屬于CSS類.最后在MA(?)CH的假設(shè)下,我們構(gòu)造了CSS類中的兩個可數(shù)緊拓撲群G和H,使得G ×H不屬于CSS類.
【學位單位】：南京師范大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O189
【文章目錄】：
Abstract
摘要
Introduction and Backgrounds
    0.1 Reflection
    0.2 Minimality and local minimality
    0.3 Separability and weaker forms of compactness
Chapter 1 The τ-precompact Hausdorff Group Reflection of TopologicalGroups
    1.1 Preliminaries and main results
    1.2 The τ-precompact Hausdorff reflection of topological groups
    1.3 Precompact and ω-narrow Hausdorff reflections
    1.4 Some properties of canonical homomorphisms and reflection functors
Chapter 2 Locally Compact Groups and Locally Minimal Group Topolo-gies
    2.1 Preliminaries and main results
    2.2 Background on local minimality
    2.3 Compact abelian groups with a non-locally minimal subgroup
    2.4 Proofs of Theorem 2.1.7 and Theorem 2.1.9
    2.5 Final remarks and open questions
Chapter 3 Topological Groups Whose Closed Subgroups are Separable,and the Product Operation
    3.1 Preliminaries and main results
    3.2 A ZFC example of precompact topological groups
    3.3 Products of pseudocompact groups
    3.4 Products of countably compact groups
    3.5 Open problems
Bibliography
Publications or Finished Papers
Acknowledgements

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本文編號：2864989