在科學和工程的領域中,在偏微分方程將物理現(xiàn)象轉化為數(shù)學模型的過程當中,起著十分重要的作用。但可惜的是,絕大多數(shù)的偏微分方程沒有解析解,我們只能用數(shù)值法求數(shù)值解。因此,能夠得到一個精確度非常高的數(shù)值解有十分重要的意義。在求解線性偏微分方程中,我們常用的無網格方法是徑向基函數(shù)配點法,也稱為Kansa方法。這種方法已經十分的成熟,是公認非常重要的無網格求解偏微分方程的方法。但是,在求解非線性橢圓方程時,通過Kansa方法得到的數(shù)值解的精確度不夠。本論文給出了一種新型的無網格方法求解非線性橢圓方程邊界值問題,在這種方法中,給定的函數(shù)不再直接作為基函數(shù),而是把它在微分方程中的特解作為基函數(shù)來近似數(shù)值解。這種無網格方法,是一種間接的方法,我們稱這個方法為特解方法。本文研究的主要內容如下:1、介紹特解方法以及特解法在求解線性橢圓方程邊界值問題的步驟;2、介紹以徑向基函數(shù)MQ的特解作為基函數(shù)的特解法;以高階多項式函數(shù)的特解作為基函數(shù)的特解法,由于高階多項式的不穩(wěn)定,會造成系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)很高,系統(tǒng)矩陣是一個嚴重的病態(tài)矩陣,會對數(shù)值解的精確度造成非常大的影響,因此我們需要預先條件對矩陣進行限制,我們介紹了多尺度技術;以徑向基函數(shù)MQ的特解結合高階多項式函數(shù)為基函數(shù)的特解法。3、介紹以上述三種函數(shù)的特解作為基函數(shù)求解非線性橢圓方程的過程。一般求解非線性方程需要將問題線性化,以及選擇可行的迭代方法。在這個部分,我們將介紹兩種求解非線性問題的迭代方法,一種是MATLAB非線性求解器,另一種是非常著名的Picard迭代方法。4、介紹了誤差,我們在不規(guī)則的邊界上分別運用上述三種特解法求解Dirichlet邊界和Neumann邊界條件下的非線性橢圓方程。并且比較這三種方法在這些問題上誤差的表現(xiàn)。最后,我們對得出的結果進行總結和分析。
【學位單位】：電子科技大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.82
【文章目錄】：
摘要
abstract
縮略名詞索引
第一章 緒論
    1.1 簡介
    1.2 徑向基函數(shù)（RBFs）
    1.3 多項式函數(shù)
    1.4 徑向基函數(shù)和多項式函數(shù)的結合
    1.5 本文研究內容
    1.6 本文章節(jié)安排
第二章 無網格特解法
    2.1 無網格特解方法的介紹
    2.2 無網格特解方法
    2.3 徑向基函數(shù)（RBFs）
    2.4 多項式函數(shù)
        2.4.1 多尺度技術
    2.5 徑向基函數(shù)和多項式函數(shù)的結合
    2.6 本章小結
第三章 特解法求解非線性問題
    3.1 MATLAB非線性求解器
    3.2 Picard迭代方法
    3.3 本章小結
第四章 數(shù)值結果
    4.1 不規(guī)則區(qū)域介紹和誤差表示
        4.1.1 不規(guī)則區(qū)域介紹
        4.1.2 誤差表示
    4.2 數(shù)值實驗
        4.2.1 擁有單邊界條件的非線性方程的邊界問題
        4.2.2 擁有雙邊界條件的非線性方程的邊界問題
    4.3 本章小結
第五章 工作總結與展望
    5.1 工作總結與主要貢獻
    5.2 展望
致謝
參考文獻
攻讀碩士學位期間取得的成果

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本文編號：2861408