圖的秩和能量是圖譜理論中兩個重要的研究課題,它們來源于化學(xué)領(lǐng)域的研究,一直是國內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)注的熱點問題.1957年,Collatz和Sinogowitz提出了以下公開問題:刻畫所有滿足秩小于階數(shù)的圖類.這一問題直到今日還沒有被完全解決.圖的秩和能量之間存在著密切關(guān)系:對一個簡單(定向)圖來說,它的能量(斜能量)大于等于秩(斜秩).混合圖的Hermitian-鄰接矩陣是近兩年圖譜理論中的一個新的研究方向,它的秩與能量之間有什么樣的關(guān)系?這一問題還沒有被解決.圍繞以上兩個問題,本文主要研究了定向圖的斜秩,符號圖的秩,(?)-gain圖的秩以及混合圖Hermitian-Randi(?)矩陣與Hermitian-Randi(?)能量.主要研究成果如下:1.給出計算定向圖斜秩的兩種方法:“刪圈法”與“刪邊法”.運用定向圖斜秩與其子圖斜秩關(guān)系,“刪圈法”得到了一類k圈定向圖的斜秩及其相關(guān)極圖;運用定向圖的斜秩性質(zhì),矩陣的秩性質(zhì),“刪圈法”和“刪邊法”等完整刻畫了斜秩為6的所有雙圈定向圖;運用矩陣秩不等式和“刪圈法”等得到了定向圖的斜秩關(guān)于其基圖秩與圈基數(shù)的一個下界,并刻畫了相應(yīng)的極圖.2.給出一種計算符號圖秩的方法.結(jié)合這一方法與符號圖的秩性質(zhì)以及矩陣秩不等式得到了非平衡符號圖的秩與其基圖秩之間關(guān)于圈基數(shù)的關(guān)系,并刻畫了相應(yīng)的極圖.解決了對任意的符號圖,它的秩與其基圖秩之間關(guān)系這一問題.3.給出一種計算(?)-gain圖秩的方法.結(jié)合這一方法與switching函數(shù),矩陣的秩性質(zhì)等刻畫了秩為2,3或4的所有(?)-gain雙圈圖.運用δ-變換以及矩陣的秩性質(zhì)得到了(?)-gain圖的秩關(guān)于其基圖秩與圈基數(shù)的上下界,并刻畫了所有相應(yīng)的極圖.4.首次定義了混合圖的Hermitian-Randi(?)矩陣與Hermitian-Randi(?)能量.這一矩陣與Hermitian-鄰接矩陣具有相同的秩.結(jié)合群論中置換群的知識給出混合圖的Hermitian-Randi(?)特征多項式系數(shù)的計算公式.運用Cauchy-Schwarz不等式與算術(shù)幾何平均不等式等給出混合圖的Hermitian-Randi(?)能量關(guān)于不同參數(shù)的上下界,并刻畫相應(yīng)的極圖.證明了混合樹的Hermitian-Randi(?)能量與其基圖的Randi(?)能量是相同的.
【學(xué)位單位】：西北工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O157.5
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 引言
    1.2 基本概念和術(shù)語
    1.3 圖的秩的研究進(jìn)展
        1.3.1 簡單圖秩（零度）的研究進(jìn)展
        1.3.2 定向圖斜秩的研究進(jìn)展
        1.3.3 符號圖秩（零度）的研究進(jìn)展
        1.3.4 （?）-gain圖秩的研究進(jìn)展
        1.3.5 混合圖H-秩的研究進(jìn)展
        1.3.6 圖的秩與能量之間的關(guān)系
    1.4 本文主要工作
    1.5 本文的創(chuàng)新點
第二章 斜秩為6的雙圈定向圖以及定向圖的斜秩與其基圖秩的關(guān)系
    2.1 預(yù)備知識
    2.2 一類k圈定向圖（k-玫瑰圖）的斜秩
    2.3 斜秩為6的雙圈定向圖
    2.4 定向圖的斜秩與其基圖秩之間的關(guān)系
第三章 符號圖的秩與其基圖秩的關(guān)系
    3.1 預(yù)備知識
    3.2 非平衡符號圖的秩與其基圖秩之間的關(guān)系
    3.3 上界（下界）最優(yōu)非平衡符號圖極圖的刻畫
第四章 （?）-gain雙圈圖的秩以及（?）-gain圖的秩與其基圖秩的關(guān)系
    4.1 預(yù)備知識
    4.2 （?）-gain雙圈圖秩的界
    4.3 秩為2,3或4的（?）-gain雙圈圖
    4.4 （?）-gain圖的秩與其基圖秩之間的關(guān)系
        4.4.1 （?）-gain圖的秩與其基圖秩之間的關(guān)系
        4.4.2 上界（下界）最優(yōu)（?）-gain圖極圖的刻畫
第五章 混合圖的Hermitian-Randi（?）矩陣及能量
    5.1 預(yù)備知識
    5.2 混合圖的Hermitian-Randi（?）特征多項式
    5.3 混合圖的Hermitian-Randi（?）能量的界
    5.4 混合樹的Hermitian-Randi（?）能量
第六章 總結(jié)和展望
    6.1 全文總結(jié)
    6.2 有待進(jìn)一步研究的問題
參考文獻(xiàn)
攻讀博士學(xué)位期間完成的學(xué)術(shù)論文,作者簡介及課題來源
致謝

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本文編號：2852321