近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程已被廣泛應(yīng)用于工程、物理、金融等諸多學(xué)科中.Banach空間中的算子半群理論及預(yù)解理論是處理無窮維空間中分?jǐn)?shù)階微分方程的重要工具.能控性和優(yōu)化控制的概念在控制理論方面起著重要的作用.因此在一定條件下利用半群及預(yù)解理論研究分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的能控性和優(yōu)化控制問題具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.本文主要研究了 Banach空間中分?jǐn)?shù)階線性及非線性微分系統(tǒng)能控的充要條件,分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)控制下的拉格朗日優(yōu)化控制以及時(shí)間優(yōu)化控制的存在性.全文的具體安排如下:第一章我們介紹本文的研究背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀以及本文所做的主要工作.第二章我們介紹本文的預(yù)備知識,包括分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì),半群、C-半群及預(yù)解的定義、生成定理及相關(guān)性質(zhì),集值映射的定義和相關(guān)性質(zhì).第三章研究了如下分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)的能控性:其中0α≤ 1,A生成指數(shù)有界的C-半群{S(t)}t≥0,x(t)∈X,u ∈Lp(J,Y))(p1/α),X,Y為Banach空間.我們利用Laplace變換結(jié)合概率密度函數(shù)以及C-半群的定義及性質(zhì)給出了分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)適度解的定義,進(jìn)一步地給出了線性系統(tǒng)能控的定義.在此基礎(chǔ)上,一方面,我們首先在自反Banach空間X,Y中研究了算子形式下的系統(tǒng)精確能控以及精確零能控的充要條件.進(jìn)一步我們?nèi)サ袅丝臻gX的自反性條件,采用不同的證明方法,得到了完全相同的算子形式下的精確能控以及精確零能控的充要條件.其次我們在X,Y為Hilbert空間且p = 2這一條件下討論了預(yù)解形式下的線性系統(tǒng)精確能控以及精確零能控的充要條件.另一方面,我們首先證明了算子形式下的線性系統(tǒng)逼近能控以及逼近零能控的充要條件,其次我們假設(shè)X,X*嚴(yán)格凸,利用對偶映像在自反Banach空間X以及Hilbert空間Y中給出了預(yù)解形式下的系統(tǒng)逼近能控及逼近零能控的充要條件.最后,我們在相應(yīng)的線性系統(tǒng)逼近能控的條件下分別討論了非自治分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的逼近能控性以及C為正則算子這一情形下半線性分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的逼近能控性.本章的結(jié)果改進(jìn)和推廣了整數(shù)階線性系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)中A生成強(qiáng)連續(xù)半群的情形下的相關(guān)結(jié)論.第四章研究了如下帶有非局部條件的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的逼近能控性:其中1q2,A生成X上的預(yù)解族{Sq(t)}t≥0,x(·)∈ X,u(·)∈ L2(J,U),X,U為 Hilbert空間.我們利用卷積工具結(jié)合預(yù)解及由預(yù)解生成的相關(guān)的算子給出了系統(tǒng)適度解的定義.在此基礎(chǔ)上,我們首先利用預(yù)解的緊性和一致算子拓?fù)溥B續(xù)性假設(shè)條件證明了由預(yù)解生成的相關(guān)的算子也滿足緊性和一致算子拓?fù)溥B續(xù)性.其次我們利用相應(yīng)的線性調(diào)控問題得到了控制函數(shù)的表達(dá)式.再次我們?nèi)サ袅朔蔷�性函數(shù)f的Lipschitz連續(xù)性條件,充分利用預(yù)解及相關(guān)的算子的性質(zhì)結(jié)合Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理給出了分?jǐn)?shù)階半線性系統(tǒng)適度解的存在性.此外,我們采用了逼近技巧,減弱了對非局部項(xiàng)g的緊性要求.最后,在相應(yīng)的線性系統(tǒng)逼近能控的條件下,我們證明了上述半線性控制系統(tǒng)的逼近能控性,本章的結(jié)果改進(jìn)和推廣了該領(lǐng)域的一些相關(guān)結(jié)果.第五章研究了如下拉格朗日優(yōu)化控制問題(P):這里成本函數(shù)J(x,u)= ∫0b L(t,x(t),u(t))dt.(x,u)滿足如下混合分?jǐn)?shù)階半線性松弛系統(tǒng)其中0α1,A生成X上的預(yù)解族{S1-α(t)}t≥0,x(·)∈ X,u(·)∈Lp(J,Y),X為Banach空間,Y為自反Banach空間,U:J→2Y\{(?)}是可容許的控制函數(shù)的集合,f:J × X → X.我們利用Laplace變換結(jié)合預(yù)解的定義給出了松弛系統(tǒng)適度解的定義.在此基礎(chǔ)上,我們一方面假設(shè)非線性函數(shù)滿足局部Lipschitz條件,進(jìn)而利用推廣的Banach壓縮原理得到了系統(tǒng)適度解的存在性和唯一性.進(jìn)一步構(gòu)造極小化序列結(jié)合Gronwall不等式得到了拉格朗日優(yōu)化可行解的存在性.另一方面,我們在預(yù)解滿足緊性及一致算子拓?fù)溥B續(xù)性的條件下,結(jié)合Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理給出了系統(tǒng)適度解的存在性.進(jìn)一步地,通過構(gòu)造兩次極小化序列的方法同樣得到了拉格朗日優(yōu)化可行解的存在性.這一結(jié)果表明解的唯一性不是拉格朗日優(yōu)化可行解存在的充分條件.本章的結(jié)果改進(jìn)和推廣了該領(lǐng)域的相關(guān)結(jié)論.第六章研究了如下時(shí)間優(yōu)化控制問題(Q):這里集合AdWT以及U0分別代表滿足一定條件的可行解的集合以及控制函數(shù)的集合.可行解(y,u)滿足如下帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)其中0γ1,y(t)∈ X,u(t)∈Y,X是Banach空間,Y是自反Banach空間.生成X上的C0半群{T(t)}t≥0,Uad是可容許控制集.我們利用Laplace變換結(jié)合概率密度函數(shù)以及半群的定義在空間C1-γ([0,d],X)中給出了帶有Ricmann-Liouville導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)適度解的定義,在此基礎(chǔ)上,首先我們利用半群的緊性條件得到了由半群生成的相關(guān)算子Sγ(t)(t0)的緊性、一致算子拓?fù)溥B續(xù)性以及類半群性質(zhì).其次我們利用這些性質(zhì)結(jié)合Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理給出了系統(tǒng)適度解的存在性.再次我們通過構(gòu)造兩次時(shí)間極小化序列的方法得到了時(shí)間優(yōu)化可行解的存在性,其中非線性函數(shù)不再滿足Lipschitz連續(xù)性條件.此外,本章中我們充分利用緊方法,去掉了狀態(tài)空間的自反性假設(shè).最后我們給出一個(gè)例子來闡述本章的主要結(jié)論.本章的結(jié)果改進(jìn)和推廣了該領(lǐng)域的相關(guān)結(jié)論.
【學(xué)位單位】：揚(yáng)州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O177.2;O231
【文章目錄】：
中文摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 選題背景及發(fā)展概況
    1.2 本文研究的主要內(nèi)容
第二章 預(yù)備知識
    2.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分
    2.2 半群與C-半群
    2.3 分?jǐn)?shù)階預(yù)解
    2.4 集值映射
第三章 分?jǐn)?shù)階線性發(fā)展系統(tǒng)能控的充分必要條件
    3.1 基本定義及引理
    3.2 精確能控的充分必要條件
    3.3 逼近能控的充分必要條件
    3.4 應(yīng)用
        3.4.1 非自治分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的逼近能控性
        3.4.2 半線性分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的逼近能控性
第四章 分?jǐn)?shù)階半線性微分系統(tǒng)的逼近能控性
    4.1 基本定義及引理
    4.2 適度解的存在性
    4.3 逼近能控性
    4.4 小結(jié)
第五章 分?jǐn)?shù)階半線性混合松弛系統(tǒng)控制下的拉格朗日優(yōu)化控制問題
    5.1 基本定義及引理
    5.2 適度解的存在性
    5.3 拉格朗日優(yōu)化可行解的存在性
    5.4 問題舉例
第六章 帶有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)控制下的時(shí)間優(yōu)化控制問題
    6.1 定義、引理及基本假設(shè)
    6.2 適度解的存在性
    6.3 時(shí)間優(yōu)化可行解的存在性
    6.4 問題舉例
參考文獻(xiàn)
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本文編號：2851751