科學和工程中的許多問題可歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題。除一些特殊問題外,獲得其解析解是不可能的,一般只能求其數(shù)值解。在科學計算家族中,基于網(wǎng)格的數(shù)值方法主要有有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)及邊界元法(BEM)�；窘夥�(MFS)是一種簡單、高精度的無網(wǎng)格方法,它無需對區(qū)域及其邊界劃分單元,具有運算精度高、收斂速度快、程序?qū)崿F(xiàn)簡單等優(yōu)良特性,因此得到許多科學計算工作者的青睞。然而,傳統(tǒng)的基本解法基于單層位勢和疊加原理,在求解某些有限域問題時,虛邊界位置會受到一定的限制,在求解某些無限域問題時會無解。不同于傳統(tǒng)的基于單層位勢的基本解法,本文提出了基于雙層位勢的基本解法,并實踐于二維穩(wěn)定溫度場的正問題和反問題的研究中。但是,實踐中作者發(fā)現(xiàn),基于雙層位勢和疊加原理的基本解法盡管避免了傳統(tǒng)的基本解法在求解有限域問題時遇到的問題,但在求解某些無限域問題時仍然會出問題。為此,作者進一步提出了基于雙層位勢和疊加原理的改進的基本解法。實踐表明,改進的基本解法既避免了傳統(tǒng)基本解法在求解有限域問題時可能遇到的問題,也適用于任何二維無限域正問題和反問題的求解。本文的具體工作是:第三、四章分別研究了二維位勢正問題、反問題的基于雙層位勢的基本解法。第五、六章探究了二維無限域位勢正問題、反問題的基于雙層位勢的改進的基本解法。第七章提出了平面彈性問題的改進的基本解法,并應(yīng)用于二維彈性力學反問題的研究。此外,引入截斷奇異值分解(TSVD)和Tikhonov正則化方法來規(guī)則化求解基本解法的病態(tài)線性系統(tǒng),正則化參數(shù)通過L曲線法和GCV法確定,收到了良好的效果。不僅保證了求解精度,又大大地擴展了虛邊界的選擇范圍。算例表明,改進的基本解法適用于任何邊值問題的求解。
【學位單位】：山東理工大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2016
【中圖分類】：O241.8
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 基本解法簡述
    1.2 基本解法的研究現(xiàn)狀
    1.3 反問題簡述
    1.4 本文的研究內(nèi)容
第二章 預(yù)備知識
    2.1 二維位勢問題
        2.1.1 二維位勢問題的基本方程
        2.1.2 二維位勢問題的基本解
    2.2 二維彈性力學問題
        2.2.1 二維彈性力學問題的基本方程
        2.2.2 二維彈性力學的基本解
    2.3 正則化方法
        2.3.1 奇異值分解(SVD)
        2.3.2 截斷奇異值分解(TSVD)
        2.3.3 Tikhonov正則化方法(TR)
    2.4 正則化參數(shù)的確定
        2.4.1 L曲線(L-curve)方法
        2.4.2 廣義交叉校驗(GCV)準則
第三章 基于雙層位勢的基本解法在二維位勢內(nèi)邊值問題中的實踐
    3.1 有限域上的位勢問題
    3.2 傳統(tǒng)的基本解法在求解內(nèi)邊值問題時的弊病
    3.3 基于雙層位勢的基本解法
    3.4 數(shù)值算例
    3.5 本章小結(jié)
第四章 基于雙層位勢的基本解法在二維位勢邊界條件識別反問題中的實踐
    4.1 二維位勢邊界條件識別反問題
    4.2 基于雙層位勢的基本解法在二維位勢反問題中的實踐
    4.3 數(shù)值算例
    4.4 本章小結(jié)
第五章 改進的基于雙層位勢的二維無限域位勢正問題的基本解法
    5.1 二維無限域位勢正問題
    5.2 改進的二維外問題的基于雙層位勢的基本解法
    5.3 數(shù)值算例
    5.4 本章小結(jié)
第六章 改進的基于雙層位勢的二維無限域位勢反問題的基本解法
    6.1 二維無限域位勢反問題
    6.2 改進的基于雙層位勢的基本解法
    6.3 數(shù)值算例
    6.4 本章小結(jié)
第七章 改進的二維彈性Cauchy反問題的基本解法
    7.1 二維彈性力學邊界條件識別反問題
    7.2 改進的基本解法
    7.3 數(shù)值算例
    7.4 本章小結(jié)
第八章 總結(jié)與展望
    8.1 總結(jié)
    8.2 展望
參考文獻
攻讀碩士學位期間發(fā)表的論文
致謝

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本文編號：2846282