隨著非線性科學(xué)的飛速發(fā)展,在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程等領(lǐng)域中出現(xiàn)了大量的非線性偏微分方程(組)(以下簡稱PDEs).眾所周知,求解非線性PDEs在理論和實(shí)際上均有很重要的研究意義.在大多數(shù)情況下,非線性PDEs的求解只能依賴于數(shù)值解法,但數(shù)值解有難于刻畫解的一般特性等很多局限性.因此,以求解PDEs解析解及相關(guān)屬性為目的的各種理性分析顯示了很重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.PDEs與各類變分方法之間有著密切聯(lián)系,特別是He—變分方法、變分迭代方法和變分導(dǎo)數(shù)方法對揭示PDEs的相關(guān)屬性方面能夠起到積極作用.He—變分方法是求解PDEs的一種簡單而有效的方法,它基于行波變換、半逆解法技巧和建立變分泛函策略,通過將預(yù)先選取的假設(shè)解代入變分公式并觀察其駐點(diǎn),進(jìn)而構(gòu)造給定方程的孤立波解.變分迭代方法可以有效地解決各種線性、非線性和具有初值和邊界值條件的問題,是一種有效的逐步提高近似解精度的方法.該方法借助校正泛函和拉氏乘子,通過迭代公式得到方程的近似解或精確解.變分導(dǎo)數(shù)方法是解決PDEs諸多問題的直接方法,它主要用變分導(dǎo)數(shù)(Euler算子)作用于對應(yīng)微分算子,進(jìn)而導(dǎo)出乘子、守恒積分、Lagrangian函數(shù)等重要結(jié)論.對稱和守恒律是PDEs的兩大重要屬性,對稱反應(yīng)非線性PDEs結(jié)構(gòu)的規(guī)律,守恒律反映非線性PDEs運(yùn)動變化的特征.守恒律對PDEs可積性、解的性質(zhì)和數(shù)值解的發(fā)展與研究方面具有重要的應(yīng)用.因此,構(gòu)造方程的守恒律顯得尤為重要,本文中引入變分導(dǎo)數(shù)方法和對稱—共軛對稱'對'方法.變分導(dǎo)數(shù)方法基于變分導(dǎo)數(shù)(Euler算子)確定方程的乘子集,再利用乘子策略推出方程的守恒律.對稱—共軛對稱'對'方法借助Frechet導(dǎo)數(shù)及其共軛Frechet導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出PDEs的對稱特征形式和共軛對稱,再用一種雙線性斜對稱恒等式產(chǎn)生給定PDEs的守恒律.綜上,發(fā)揮變分方法技巧和守恒律思想,推出非線性PDEs的相關(guān)屬性是可期待的.本文具體研究工作安排如下:第一章,簡要介紹PDEs領(lǐng)域中的孤立子、變分類方法、Lie對稱和守恒律研究現(xiàn)狀及本文工作概況.第二章,介紹了He—變分方法、變分迭代法、變分導(dǎo)數(shù)法與對稱—共軛對稱'對'方法的主要思想及算法框架.第三章,利用第二章中所介紹的方法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)(Maple、Mathematica)解決幾種重要PDEs的求解及守恒律的構(gòu)造問題.(1).應(yīng)用He—變分方法構(gòu)造了 Cubic非線性Schodinger方程和Dave-Stewartson方程組的孤立波解,同時(shí)也求出廣義Zakahar ov方程組的光孤子解;(2).使用變分迭代法,數(shù)值模擬Whitham-Broer-Kaup方程組和mKdV方程的行波解;(3).基于吳方法和變分導(dǎo)數(shù)方法,導(dǎo)出非線性Compacton ZK方程多種情形下的無窮乘子和無窮守恒律;(4).借助Frechet導(dǎo)數(shù)及其共軛Frechet導(dǎo)數(shù),利用對稱—伴隨對稱'對'方法構(gòu)造電報(bào)系統(tǒng)和色散長波方程組的諸多守恒律.第四章,對全文工作進(jìn)行簡要總結(jié),并展望未來的延伸研究方向和工作.
【學(xué)位單位】：內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175.2
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 孤立子
    1.2 變分類方法
    1.3 Lie對稱
    1.4 守恒律
    1.5 本文的工作
第二章 幾種變分類方法及對稱—共軛對稱'對'方法
    2.1 He-變分方法
    2.2 變分迭代法
    2.3 變分導(dǎo)數(shù)方法
    2.4 對稱—共軛對稱'對'方法
第三章 幾類方法在PDEs中具體應(yīng)用
    3.1 利用He-變分方法構(gòu)造非線性PDEs的孤立波解
        3.1.1 CNS方程的孤立波解
        3.1.2 DS方程組的孤立波解
        3.1.3 廣義Zakaharov方程組的光孤子解
    3.2 利用變分迭代法數(shù)值模擬PDEs的行波解
        3.2.1 WBKs行波解的數(shù)值模擬
        3.2.2 mKdV方程行波解的數(shù)值模擬
    3.3 利用變分導(dǎo)數(shù)法構(gòu)造非線性CZK方程的無窮乘子和無窮守恒律
        3.3.1 (2+1)-CZK(n,n)方程的無窮乘子和無窮守恒律
        3.3.2 (2+1)-CZK(-n,-n)方程的無窮乘子和無窮守恒律
        3.3.3 (3+1)-CZK(n,n)方程的無窮乘子和無窮守恒律
        3.3.4 (3+1)-CZK(-n,-n)方程的無窮乘子和無窮守恒律
    3.4 利用對稱—共軛對稱'對'方法構(gòu)造非線性PDEs守恒律
        3.4.1 電報(bào)系統(tǒng)的守恒律
        3.4.2 色散長波方程組的守恒律
第四章 總結(jié)與展望
參考文獻(xiàn)
致謝
在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的其他研究成果

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1 特木爾朝魯;額爾敦布和;鄭麗霞;;擴(kuò)充偏微分方程(組)守恒律和對稱的輔助方程方法及微分形式吳方法的應(yīng)用[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2007年05期

2 曹金龍;鄧習(xí)軍;;Whitham-Broer-Kaup方程的行波解分支[J];昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版);2006年04期

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4 范恩貴,張鴻慶;Whitham_Broer_Kaup淺水波方程的Backlund變換和精確解[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué);1998年08期

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本文編號：2842238