分數(shù)階偏微分方程廣泛應用于科學與工程領域.本文主要針對變系數(shù)分數(shù)階次擴散方程的初邊值問題構(gòu)造幾種高階緊有限差分方法,并給出相應的數(shù)值分析.本文由如下六章組成:第一章簡要介紹了本文的研究背景和研究動機.第二章構(gòu)造和分析了求解一類變系數(shù)時間分數(shù)階對流-反應-擴散方程的緊有限差分方法.方程的對流和反應系數(shù)依賴于空間變量.基于一些新的技巧以及時間分數(shù)階導數(shù)的L2-1逼近公式和空間導數(shù)的四階緊有限差分逼近,我們建立了一種緊有限差分方法,并詳細討論了該方法的局部截斷誤差和可解性.利用離散能量分析法嚴格證明了方法的無條件穩(wěn)定性及其時間二階收斂性和空間四階收斂性.然后,建立的緊差分方法被推廣到對流和反應系數(shù)同時依賴于時間和空間變量的一般情形.另外,我們還提出了一種具有高階精度的組合緊有限差分方法.數(shù)值結(jié)果驗證了這些方法的有效性.第三章繼續(xù)研究第二章考慮的變系數(shù)分數(shù)階次擴散方程.基于時間分數(shù)階導數(shù)的加權位移Gr(?)nwald-Letnikov公式和空間導數(shù)的緊有限差分逼近,我們建立了一種無條件穩(wěn)定的高階緊差分方法,并詳細討論了緊差分格式的局部截斷誤差和可解性.用離散能量法嚴格證明了該方法的穩(wěn)定性及其時間三階收斂性和空間四階收斂性.將差分方法與Richardson外推相結(jié)合,我們給出了一種時間和空間精度均為四階的外推緊差分方法,并且對外推法的收斂性給出了嚴格的理論證明.數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析,并表明了緊差分方法的精度和外推緊差分方法的有效性.第四章建立和分析了求解一類守恒形式的變系數(shù)時間分數(shù)階次擴散方程的高階緊有限差分方法.我們用基于分段二次插值多項式的2公式離散階Caputo時間分數(shù)階導數(shù)((?)∈(0,1)),同時用一個四階緊有限差分算子逼近變系數(shù)空間微分算子.針對變系數(shù)的一般情形和所有的(?)∈(0,1),通過發(fā)展一種離散能量分析技巧,我們?nèi)娼o出了方法的穩(wěn)定性和收斂性分析,并獲得了L~2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計.誤差估計表明建立的方法具有時間3-(?)階精度和空間四階精度.為了提高方法的應用性,我們討論了進一步的逼近.最后,建立的方法被應用于三個模型問題,數(shù)值算例驗證了理論分析結(jié)果.第五章繼續(xù)研究第四章考慮的變系數(shù)分數(shù)階次擴散方程.基于時間分數(shù)階導數(shù)的Lubich差分算子和空間導數(shù)的緊有限差分逼近,我們建立了一組緊有限差分方法.建立的方法具有收斂階(?)((?)~h4),其中(?)≥2是正整數(shù),(?)和h分別是時間步長和空間步長.這樣的高階緊差分方法改進了文獻中已有的方法.我們詳細討論了方法的局部截斷誤差和可解性.針對變系數(shù)的一般情形和2≤(?)≤6,通過將離散能量分析技巧應用于方法的矩陣形式,我們嚴格給出了方法的穩(wěn)定性和收斂性分析,并獲得了加權H~1,L~2和L~∞范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計.最后,建立的方法被應用于兩個模型問題,數(shù)值結(jié)果驗證了方法的收斂階.第六章總結(jié)了本文的主要結(jié)果并概括了未來值得研究的工作.
【學位單位】：華東師范大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀
    1.2 本文的研究動機和意義
    1.3 本文的主要工作和創(chuàng)新點
    1.4 本文的記號和常用引理
        1.4.1 時間區(qū)間[0,]的網(wǎng)格剖分和網(wǎng)格函數(shù)
        1.4.2 空間區(qū)間[0,]的網(wǎng)格剖分和網(wǎng)格函數(shù)
        1.4.3 本文的常用引理
第二章 變系數(shù)時間分數(shù)階對流-反應-擴散方程的緊有限差分方法
    2.1 引言
    2.2 緊有限差分方法
    2.3 截斷誤差和可解性
    2.4 格式(2.2.27)的穩(wěn)定性和收斂性
    2.5 格式(2.2.29)的穩(wěn)定性和收斂性
    2.6 更一般變系數(shù)情形的緊有限差分方法
    2.7 數(shù)值結(jié)果
    2.8 本章小結(jié)
第三章 變系數(shù)時間分數(shù)階對流-反應-擴散方程的四階外推緊差分方法
    3.1 引言
    3.2 緊有限差分方法
        3.2.1 加權位移Gr¨unwald-Letnikov公式的漸近誤差展開
        3.2.2 一個測試算例
        3.2.3 緊有限差分格式的建立
    3.3 截斷誤差和可解性
    3.4 穩(wěn)定性和收斂性
    3.5 緊有限差分方法的Richardson外推
    3.6 數(shù)值結(jié)果
    3.7 本章小結(jié)
第四章 守恒形式的變系數(shù)分數(shù)階次擴散方程的高階2-緊有限差分方法
    4.1 引言
    4.2 緊有限差分方法
        4.2.1 空間離散
        4.2.2 時間離散
        4.2.3 緊有限差分格式的建立
        4.2.4 局部截斷誤差和可解性
    4.3 穩(wěn)定性和收斂性
        4.3.1 格式(4.2.28)的一種合適的矩陣形式
        4.3.2 先驗估計
        4.3.3 穩(wěn)定性和收斂性分析
    4.4 進一步的逼近
        4.4.1 關于時間第一層上的逼近
        4.4.2 進一步的空間逼近
    4.5 數(shù)值結(jié)果
    4.6 本章小結(jié)
第五章 守恒形式的變系數(shù)分數(shù)階次擴散方程的高階緊有限差分方法
    5.1 引言
    5.2 Caputo分數(shù)階導數(shù)的逼近公式
        5.2.1 Lubich差分算子
        5.2.2 逼近公式
        5.2.3 兩個測試算例
    5.3 緊有限差分格式
    5.4 穩(wěn)定性和收斂性
        5.4.1 格式(5.3.6)的一種合適的矩陣形式
        5.4.2 穩(wěn)定性和收斂性分析
    5.5 進一步討論
        5.5.1 關于零-導數(shù)條件
        5.5.2 進一步的空間逼近
    5.6 數(shù)值結(jié)果
    5.7 本章小結(jié)
    5.8 附錄
第六章 總結(jié)與展望
    本文總結(jié)
    展望及未來工作
參考文獻
發(fā)表文章目錄
致謝
作者簡歷


本文編號：2836008