通過(guò)分?jǐn)?shù)階微積分這一來(lái)源已久的工具,我們可以拓展整數(shù)階導(dǎo)數(shù)到任意階導(dǎo)數(shù)。MRI是當(dāng)今臨床診斷中常用的成像技術(shù),其中在MR的衰減信號(hào)的建模中最關(guān)鍵的模型以Bloch方程組為基礎(chǔ)。在某些組織器官中,MR信號(hào)的衰減受水分子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)影響很大,使用Bloch方程組不能很好地描述信號(hào)的衰減。此時(shí)可以在Bloch方程組的基礎(chǔ)上加上Torrey擴(kuò)散項(xiàng)進(jìn)行建模,改進(jìn)后的方程組一般被稱作為Bloch-Torrey方程組。為了能夠獲得更加準(zhǔn)確的醫(yī)療圖像,已經(jīng)有研究者將Bloch方程組以及Bloch-Torrey方程組從經(jīng)典的整數(shù)階向分?jǐn)?shù)階的拓展,并且通過(guò)許多研究表明了無(wú)論是Bloch方程組或是Bloch-Torrey方程,基于分?jǐn)?shù)階方程的模型與基于整數(shù)階方程的模型存在差異,并且這些差異很可能為更加準(zhǔn)確MRI成像提供新的思路以及對(duì)應(yīng)的理論基礎(chǔ)。本文主要涉及兩個(gè)研究?jī)?nèi)容,分別是對(duì)分?jǐn)?shù)階Bloch方程組的數(shù)值解的研究,與對(duì)分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程組的數(shù)值解的研究。首先,介紹了兩個(gè)用在分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值求解中的有限差分格式,其次,利用這兩個(gè)格式對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解。再次,我們利用QTT分解改寫(xiě)這兩個(gè)數(shù)值格式,推導(dǎo)出求解分?jǐn)?shù)階Bloch方程組以及分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程組的QTT格式。最后,我們通過(guò)一系列數(shù)值實(shí)驗(yàn),重點(diǎn)基于空間上達(dá)到二階精度的格式,考察了分?jǐn)?shù)階Bloch方程組數(shù)值解以及分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey數(shù)值解的表現(xiàn)。本文的創(chuàng)新之處在于利用了QTT格式對(duì)分?jǐn)?shù)階Bloch方程組進(jìn)行數(shù)值求解,以及推導(dǎo)了二維分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程組的數(shù)值格式,并對(duì)一維情形做了數(shù)值模擬。
【學(xué)位單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【部分圖文】：

圖 7.1 My 關(guān)于 Mx 的散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖中，紅點(diǎn)表示通過(guò)式 (7.1) 算出的精確解，藍(lán)點(diǎn)表示通過(guò) QTT 格式計(jì)算的數(shù)值解。從這三個(gè)散點(diǎn)圖中，我們可以看到，隨著 的減少，橫向磁化矢量xy的衰減速度加快。當(dāng) 時(shí)，xy的衰減速度較慢，而當(dāng) 時(shí)，在時(shí)間方向上的第一步迭代y就已經(jīng)從初始值 1 衰減到 0.1 以下。此外從散點(diǎn)圖上我們直觀地看見(jiàn)當(dāng) 時(shí)數(shù)值解與精確解基本吻合，而當(dāng) 與時(shí)，數(shù)值解與精確解在開(kāi)始時(shí)差別較大，但隨著時(shí)間層的增加，二者吻合程度逐漸提高。通過(guò)表7.11或者圖7.1，我們可以看到，當(dāng) 以及 時(shí)，數(shù)值結(jié)果的最大絕對(duì)誤差出現(xiàn)在第一步迭代中。出現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象的原因很可能是當(dāng) 取值較小的時(shí)候，xy迅速衰減。我們知道分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值解依賴于所有歷史解，所以在第一步迭代中因?yàn)樗褂玫臍v史解信息最少，只有初始條件，因此導(dǎo)

圖 7.2 My 關(guān)于 Mx 的散點(diǎn)圖7.3分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程數(shù)值求解例 7.5 為了討論 和 對(duì)分?jǐn)?shù)階 Bloch-Torrey 方程組解的影響。我們考慮如下分?jǐn)?shù)階方程組的求解。它是 (6.21)-(6.21) 的簡(jiǎn)化，這里忽略了式中的 以及 。設(shè) ，C αtx z y βxC αty z x βy其中初始條件為x，y。邊界條件選擇零 Dirichlet 邊界條件，即x x y x。設(shè)參數(shù) ， ， 。 ， 。在數(shù)值格式(6.25)中，我們固定 ， 分別取 。再取 ，

關(guān)于x的變化。結(jié)果如圖7.3所示。從結(jié)果中，我們可以看到，隨著 的減小，橫向磁化矢量xy的衰減越慢。圖 7.3 探究 β 變化對(duì)磁化矢量衰減的影響接下來(lái)，我們固定 ， 分別取 為 ， ， 。同樣地，我們觀察格點(diǎn)觀察 中y關(guān)于x的變化。結(jié)果如圖7.4所示

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本文編號(hào)：2834917