通過分數(shù)階微積分這一來源已久的工具,我們可以拓展整數(shù)階導數(shù)到任意階導數(shù)。MRI是當今臨床診斷中常用的成像技術(shù),其中在MR的衰減信號的建模中最關(guān)鍵的模型以Bloch方程組為基礎(chǔ)。在某些組織器官中,MR信號的衰減受水分子的擴散運動影響很大,使用Bloch方程組不能很好地描述信號的衰減。此時可以在Bloch方程組的基礎(chǔ)上加上Torrey擴散項進行建模,改進后的方程組一般被稱作為Bloch-Torrey方程組。為了能夠獲得更加準確的醫(yī)療圖像,已經(jīng)有研究者將Bloch方程組以及Bloch-Torrey方程組從經(jīng)典的整數(shù)階向分數(shù)階的拓展,并且通過許多研究表明了無論是Bloch方程組或是Bloch-Torrey方程,基于分數(shù)階方程的模型與基于整數(shù)階方程的模型存在差異,并且這些差異很可能為更加準確MRI成像提供新的思路以及對應(yīng)的理論基礎(chǔ)。本文主要涉及兩個研究內(nèi)容,分別是對分數(shù)階Bloch方程組的數(shù)值解的研究,與對分數(shù)階Bloch-Torrey方程組的數(shù)值解的研究。首先,介紹了兩個用在分數(shù)階偏微分方程數(shù)值求解中的有限差分格式,其次,利用這兩個格式對分數(shù)階微分方程組進行數(shù)值求解。再次,我們利用QTT分解改寫這兩個數(shù)值格式,推導出求解分數(shù)階Bloch方程組以及分數(shù)階Bloch-Torrey方程組的QTT格式。最后,我們通過一系列數(shù)值實驗,重點基于空間上達到二階精度的格式,考察了分數(shù)階Bloch方程組數(shù)值解以及分數(shù)階Bloch-Torrey數(shù)值解的表現(xiàn)。本文的創(chuàng)新之處在于利用了QTT格式對分數(shù)階Bloch方程組進行數(shù)值求解,以及推導了二維分數(shù)階Bloch-Torrey方程組的數(shù)值格式,并對一維情形做了數(shù)值模擬。
【學位單位】：華東師范大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【部分圖文】：

圖 7.1 My 關(guān)于 Mx 的散點圖散點圖中，紅點表示通過式 (7.1) 算出的精確解，藍點表示通過 QTT 格式計算的數(shù)值解。從這三個散點圖中，我們可以看到，隨著 的減少，橫向磁化矢量xy的衰減速度加快。當 時，xy的衰減速度較慢，而當 時，在時間方向上的第一步迭代y就已經(jīng)從初始值 1 衰減到 0.1 以下。此外從散點圖上我們直觀地看見當 時數(shù)值解與精確解基本吻合，而當 與時，數(shù)值解與精確解在開始時差別較大，但隨著時間層的增加，二者吻合程度逐漸提高。通過表7.11或者圖7.1，我們可以看到，當 以及 時，數(shù)值結(jié)果的最大絕對誤差出現(xiàn)在第一步迭代中。出現(xiàn)這個現(xiàn)象的原因很可能是當 取值較小的時候，xy迅速衰減。我們知道分數(shù)階方程的數(shù)值解依賴于所有歷史解，所以在第一步迭代中因為所使用的歷史解信息最少，只有初始條件，因此導

圖 7.2 My 關(guān)于 Mx 的散點圖7.3分數(shù)階Bloch-Torrey方程數(shù)值求解例 7.5 為了討論 和 對分數(shù)階 Bloch-Torrey 方程組解的影響。我們考慮如下分數(shù)階方程組的求解。它是 (6.21)-(6.21) 的簡化，這里忽略了式中的 以及 。設(shè) ，C αtx z y βxC αty z x βy其中初始條件為x，y。邊界條件選擇零 Dirichlet 邊界條件，即x x y x。設(shè)參數(shù) ， ， 。 ， 。在數(shù)值格式(6.25)中，我們固定 ， 分別取 。再取 ，

關(guān)于x的變化。結(jié)果如圖7.3所示。從結(jié)果中，我們可以看到，隨著 的減小，橫向磁化矢量xy的衰減越慢。圖 7.3 探究 β 變化對磁化矢量衰減的影響接下來，我們固定 ， 分別取 為 ， ， 。同樣地，我們觀察格點觀察 中y關(guān)于x的變化。結(jié)果如圖7.4所示

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本文編號：2834917