耗散系統(tǒng)[1,2,3]作為深刻重要的系統(tǒng)廣泛地存在于自然界當(dāng)中,周期解的存在性也是微分方程領(lǐng)域中最為重要的課題之一.對耗散系統(tǒng)周期解的存在性研究在理論和應(yīng)用中有著重要的意義. 數(shù)學(xué)家對微分方程周期解的研究由來已久.從Newton應(yīng)用萬有引力定律證明Kepler運動定律到Poincare研究天體問題證明了著名的Poincare周期定理.上世紀(jì)初Hilbert提出了關(guān)于多項式系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的著名的第16問題.上世紀(jì)四十年代后期,N. Levinson, T. Yoshizawa, J. L. Massera, T. A. Buiton, Chow.S.N.等學(xué)者作了大量的工作[4,5,6,7],至今發(fā)表了數(shù)量眾多的文章[11]-[21],涵蓋了微分方程中大多數(shù)的系統(tǒng)和不同的周期類型,大大推動了微分方程周期解研究深度和廣度,其中最為經(jīng)典的是Massera準(zhǔn)則[8]和Yoshizawa定理[9].1950年J.LMassera對平面周期系統(tǒng)：x'=f(t,x),f(t+w,x)=f(t,x)建立了周期解存在性定理,證明了如果此方程存在一個正向有界解,那么方程至少存在一個周期為ω的周期解,并對高維線性周期系統(tǒng)證明了類似結(jié)果. 很多學(xué)者對這兩個重要的定理進行了更加深入的研究：一是將這兩個結(jié)果推廣到更廣泛的方程類型上去.二是不斷減弱定理中的條件.1973年,Chow S. N對有限時滯的線性純量滯后型周期微分方程[7]：x'(t)=L(t,xt)+f(t),其中xt(.)=x(t+.)∈C([-r,0],R),L:(-∞,+∞)×C→R關(guān)于t是ω周期的,且滿足ω≥r,L和f連續(xù),f同樣是以ω為周期的.利用常數(shù)變易公式,得出了類似Massera準(zhǔn)則的結(jié)果：當(dāng)r≤ω且上述微分方程存在一個有界解,則其存在一個以ω為周期的周期解Chow S.N雖然將Massera準(zhǔn)則推廣到了具有有限時滯的線性純量滯后型周期泛函微分方程,但這個結(jié)果有ω≥r的小時滯限制. 1999年,李勇等推廣了Chow S.N的結(jié)果[22],去掉了ω≥r的限制,證明了超前型及滯后型泛函微分方程存在周期解當(dāng)且僅當(dāng)其存在有界解.隨后又將Massera的結(jié)果推廣到Banach空間中的周期線性發(fā)展方程.目前,Lienard方程,具有時滯性的非自治微分方程,幾乎自守的非自治有界微分方程等等都有類似Massera準(zhǔn)則的結(jié)果被給出[23,24]. 用常微分方程描述的模型所表示的變化規(guī)律只與當(dāng)前時刻的狀態(tài)相關(guān),與系統(tǒng)之前的歷史狀態(tài)無關(guān),這是一種很理想的狀態(tài).但是客觀事物的變化規(guī)律不僅僅和系統(tǒng)的即時狀態(tài)有關(guān)系,也和其歷史狀態(tài)和進程息息相關(guān).這種意義下,用常微分方程表述模型就存在一定的局限性,我們需要一種新的表達和刻畫方式,來考慮和處理時滯對系統(tǒng)造成的影響,泛函微分方程便應(yīng)運而生,其主要特點就是帶有時間滯后的微分方程,可以精確刻畫既依賴于當(dāng)前狀態(tài)也依賴于歷史狀態(tài)的發(fā)展系統(tǒng),在諸多領(lǐng)域中都起著十分重要的作用,將常微分方程的結(jié)論向泛函微分方程推廣也有著重要的意義. 1966年,T.Yoshizawa利用Browder不動點定理[25]證明了如果n維ω周期常微分方程系統(tǒng)等度最終有界,則系統(tǒng)存在ω周期解[26].同年,T.Yoshiza-wa[27]對具有有限時滯的滯后型周期泛函微分方程周期解的存在性進行研究,將Massera準(zhǔn)則推廣到泛函微分方程上,建立了著名的Yoshizawa定理： 考慮帶有有限時滯的滯后型泛函方程：x=f(t,xt),t≥0,其中xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],||θ||=sup|φ(θ)|,φ∈C,C為將[-r,0]映射到Rn的連續(xù)函數(shù)組成的空間. Yoshizawa對上述具有有限時滯的滯后型周期方程證明了當(dāng)時滯r≤ω時,如果此泛函方程的解一致有界且關(guān)于B一致最終有界,則方程至少存在一個以ω為周期的周期解. 在人們的共同努力下,為數(shù)眾多類型的周期系統(tǒng)的Yoshizawa定理型的結(jié)果已經(jīng)被紛紛建立了起來.1985年,T. A. Burton[28]證明了對于某些具有無限時滯的ω-周期積分微分方程,如果初始函數(shù)有界,且方程的解具有一致有界和一致最終有界,則方程存在以mω為周期的周期解.同年,T. A. Burton自己又進一步將結(jié)果優(yōu)化為存在ω-周期解[29,30,31].1989年,T. A. Burton[32]在Cg空間的基礎(chǔ)上,對具有弱衰減記憶性質(zhì)的無限時滯的滯后型周期泛函方程建立的Yoshizawa定理型的結(jié)果.1988年,學(xué)者們在中立型泛函微分方程上推廣了Yoshizawa定理,這是一種更為廣泛的泛函方程類型：其中xt(θ)=x(t+θ),當(dāng)θ∈[-r,0]時,方程為具有有限時滯的中立型泛函微分方程,當(dāng)θ∈(-∞,0]時,方程為具有無限時滯的中立型泛函微分方程.可以顯而易見的看出在滿足某種條件時,中立型泛函微分方程就是帶有時滯的滯后型泛函微分方程. 1994-2000年,Liu[33,34,35]先后對Banach空間中不具有時滯的周期發(fā)展方程,具有有限時滯的周期發(fā)展方程和具有無限時滯的周期發(fā)展方程分別建立了Massera準(zhǔn)則、Yoshizawa定理型的周期解存在判定定理.證明了如果上述周期發(fā)展方程存在有界且最終有界的解,則其存在周期解. 本文也是按照這個方向,將Massera準(zhǔn)則和Yoshizawa定理推廣到具有Q-仿射周期的仿射耗散系統(tǒng),研究其的仿射周期解存在性問題.當(dāng)系統(tǒng)f(t,x)滿足f(t+T,x)＝Qf(t,Q-1x)時,我們稱系統(tǒng)具有Q-仿射周期性.當(dāng)我們對Q賦予不同的值時,仿射周期便可簡化為常見的T-周期或反周期. 仿射耗散是指系統(tǒng)f(t,x)滿足：存在B00,使得對任意B0,存在M=M(B)0,L=L(B)0,使得當(dāng)|x0|≤B時,有|x(t,xo)|≤M,∨t∈[0,L],|Q-mx(t+mT,x0)|≤B0,(?)t+mT∈[L,∞),m∈Z. “工欲善其事,必先利其器”.以Yoshizawa周期解定理為例,其證明主要是利用Browder不動點定理.而本文的主要結(jié)果則是以Horn不動點定理[36]為核心工具給出的.1970年,W.A.Horn發(fā)展了F.E.Browder于1959年發(fā)表的不動點方面的結(jié)果,證明了： 設(shè)X為有限維向量空間,S0(?)S1(?)S2為X中的有界凸集,其中S0,S2是閉集,S1為S0的一個相對于S2的開鄰域,連續(xù)映射f：S2→X對于某個m正整數(shù)滿足：(1)fj(S1)(?)S2,1≤j≤m-1,(2)fj(S1)(?)S0,m≤j≤2m-1.則映射.f在S0中存在不動點. 為了更好的理解本文的工作,我們將給出Horn不動點定理的完整證明.進一步通過構(gòu)造滿足Horn不動點定理的S0,S1,S2,得到關(guān)于有Q-仿射周期的仿射耗散系統(tǒng)的仿射周期解存在性的結(jié)果： 定理1：若系統(tǒng)x'=.f(t,x)為具有Q-仿射周期的仿射耗散系統(tǒng),則系統(tǒng)存在Q-仿射周期解. 以及應(yīng)用Lyapunov函數(shù)來研究耗散系統(tǒng)仿射周期解存在性的結(jié)果： 定理2：假設(shè)系統(tǒng)x'=f(t,x)存在Lyapunov函數(shù)V：R+1×Rn→R+1滿足：i)V(t,x)∈C1； ii)V'(t,x)≤-W(t,x),|x|≥M0,W(t,x)在R+1×{|x|≤M}上連續(xù),且|x|≥M時有W(t,x)≥α0； iii)在t上一致滿足：那么此系統(tǒng)存在一個Q-仿射周期解. 有了上述的結(jié)果,對于一些具體的Q-仿射周期的仿射耗散方程,例如：x'+2x=e-t和滿足某些條件的系統(tǒng)可以清楚快速的判斷其周期解的存在性. 我們也得到了泛函微分方程形式下關(guān)于有Q-仿射周期的仿射耗散系統(tǒng)的放射周期解存在性的結(jié)果： 定理3：系統(tǒng)x'=F(t,xt)為具有Q-仿射周期的仿射耗散系統(tǒng),則系統(tǒng)存在Q-仿射周期解. 本文還深入探討了具有Q-仿射周期的線性系統(tǒng)x'=A(t)x+g(t)的Massera準(zhǔn)則： 定理4：：若具有Q-仿射周期的線性系統(tǒng)x'=A(t)x+9(t)有一個Q-仿射有界解x0(t),則其存在一個Q-仿射周期解x*∈co{Q-mx0(mT)}m=0∞. 以此結(jié)論為基礎(chǔ),我們還對具有Q-旋轉(zhuǎn)周期的非線性系統(tǒng)的Q-旋轉(zhuǎn)周期解的存在性的上下解方法進行研究,得到如下結(jié)果： 定理5：：設(shè)Q∈SO(n),并且系統(tǒng)x'=f(t,x)具有Q-旋轉(zhuǎn)周期性.假設(shè) i)系統(tǒng)x'=g(t,x)存在C1的上下解β和α,且有：Ω(t+T)=QΩ(t)(?)t； ii)函數(shù)g(t,x)為一個關(guān)于Ω(t)的Kamke型函數(shù)： iii)如下關(guān)系式成立：那么,系統(tǒng)x'=f(t,x)存在一個Q-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t)滿足α(t)≤x*(t)≤β(t)(?)t.
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O175

【共引文獻】

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本文編號：2820625