本博士論文研究的主要內(nèi)容為叢代數(shù)間的態(tài)射(根叢同態(tài))和2-Calabi-Yau三角范疇中的叢結(jié)構(gòu)。特別地,研究了叢代數(shù)到其自身的保持叢突變的雙射(叢自同構(gòu)),以及這些雙射構(gòu)成的群,即叢自同構(gòu)群。我們在第一章和第二章分別敘述引言和列出一些預(yù)備知識。第三章將研究根叢代數(shù)以及根叢同態(tài)[1]。我們將給出一個非理想?yún)矐B(tài)射的例子,該反例澄清了[1]中的一個疑問。然后對一個種子引入冰化的概念,以此證明單的根叢同態(tài)都是通過冰化和取子種子得到的,進(jìn)一步,它是一個截斷的充要條件是冰化過程是平凡的。這樣我們回答了[1]中的問題7。我們還證明了一個可誘導(dǎo)根叢同態(tài)是理想的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個滿的根叢同態(tài)和一個單的根叢同態(tài)的合成。第四章考慮叢代數(shù)和2-Calabi-Yau三角范疇中的叢結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。對具有叢傾斜對象的2-Calabi-Yau三角范疇中產(chǎn)生的叢代數(shù),我們給出了其根叢子代數(shù)的完備對和三角范疇中余扭對之間的一一對應(yīng)。第五章將研究帶有幾何系數(shù)的叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群,不帶系數(shù)的情況見[2]。為此我們引入粘貼自由叢代數(shù)的概念,并且證明在一個很弱的條件下粘貼自由叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群是其主部分叢代數(shù)叢自同構(gòu)群的子群。緊接著我們證明一些常見的帶系數(shù)叢代數(shù)是粘貼自由的,例如,主系數(shù)叢代數(shù),泛幾何系數(shù)叢代數(shù),和由曲面(除了帶四個點(diǎn)的圓盤)產(chǎn)生的叢代數(shù)。特別地,除了四類特殊的曲面以外,由曲面產(chǎn)生的以曲面邊界為系數(shù)的叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群和其主部分叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群是同構(gòu)的。在證明以上結(jié)論的過程中我們引入了叢代數(shù)變換圖的自同構(gòu)群,證明了對粘貼自由的叢代數(shù),其叢自同構(gòu)群是其變換圖自同構(gòu)群的子群。第六章將研究有限型叢代數(shù)A的叢自同構(gòu)群Aut(A)。我們將說明除了D2n,(n 2)型之外,所有A的叢自同構(gòu)都是由其對應(yīng)幾乎正根系的分片線性變換τ+和τ-[3]誘導(dǎo)出來的。對D2n,(n 2)型叢代數(shù),存在由負(fù)單根的置換誘導(dǎo)出的叢自同構(gòu),而該置換不能由τ+和τ-生成。然后利用單邊有限型叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群[2]以及對單邊叢代數(shù)的折疊,我們計算出所有非單邊有限型叢代數(shù)的叢自同構(gòu)群。我們也說明了Aut(A)同構(gòu)于叢自同構(gòu)群Aut(Auniv),這里Auniv是A的泛叢代數(shù)[4]。在第七章,我們證明對有限型叢代數(shù)(除了秩為2的型和F4型)和反對稱有限突變叢代數(shù)A,Aut(A)同構(gòu)于Aut(EA),其中EA是A的變換圖。
【學(xué)位單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O152

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本文編號：2820150