Eulerian多項(xiàng)式一直是計(jì)數(shù)組合學(xué)中的活躍課題.自Eulerian數(shù)的提出到發(fā)生函數(shù)理論的完善,Eulerian多項(xiàng)式的很多性質(zhì)已經(jīng)被深入研究,例如其系數(shù)的γ-正性,單峰性,對數(shù)凹(凸)性,Spiral性,漸近正態(tài)性;其遞推關(guān)系,實(shí)零點(diǎn)性等;其序列的指數(shù)發(fā)生函數(shù),強(qiáng)q-對數(shù)凸(凹)性,q-Stieltjes moment性(簡稱q-SM)等.隨后與Eulerian多項(xiàng)式相關(guān)的多項(xiàng)式,例如B,D類型的Eulerian多項(xiàng)式,仿射類型的Eulerian多項(xiàng)式,錯排多項(xiàng)式等也被廣泛研究.因此Eulerian多項(xiàng)式以及相關(guān)多項(xiàng)式的性質(zhì)在計(jì)數(shù)組合學(xué)中具有重要的地位.此外,我們了解到三類與Eulerian多項(xiàng)式相關(guān)的多項(xiàng)式的部分性質(zhì).第一類是圈錯排多項(xiàng)式,其實(shí)際上是錯排多項(xiàng)式的推廣,在一定的限制條件下,分別等價(jià)于A,B類型的錯排多項(xiàng)式.Steingr′?msson已經(jīng)給出了圈Eulerian多項(xiàng)式的定義,并且通過組合方法得到圈Eulerian數(shù)的遞推關(guān)系.我們通過圈Eulerian多項(xiàng)式的性質(zhì)來研究了圈錯排多項(xiàng)式的性質(zhì).第二類是r-錯排多項(xiàng)式,其是錯排多項(xiàng)式的推廣,在一定條件下,等價(jià)于錯排多項(xiàng)式.王琛穎等已經(jīng)給出了r-錯排數(shù)的遞推關(guān)系以及指數(shù)發(fā)生函數(shù).在此基礎(chǔ)上,我們定義了r-錯排多項(xiàng)式.通過r-錯排多項(xiàng)式的性質(zhì)可以進(jìn)一步地研究錯排多項(xiàng)式的性質(zhì).第三類是binomial-Eulerian多項(xiàng)式.Eulerian多項(xiàng)式經(jīng)過二次項(xiàng)變換得到binomial-Eulerian多項(xiàng)式.Shareshian等已經(jīng)給出binomial-Eulerian多項(xiàng)式的定義,γ-正性,單峰性.在學(xué)者們研究的基礎(chǔ)上,我們做了進(jìn)一步的研究.具體內(nèi)容如下:第一部分我們通過圈Eulerian數(shù)的遞推關(guān)系以及圈Eulerian多項(xiàng)式的定義,給出圈Eulerian多項(xiàng)式的遞推關(guān)系.后來通過對比圈Eulerian多項(xiàng)式與圈錯排多項(xiàng)式的定義,我們發(fā)現(xiàn)了它們之間的明確關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上,我們得到圈錯排多項(xiàng)式的遞推關(guān)系,從而證明其實(shí)零點(diǎn)性.然后通過圈錯排多項(xiàng)式實(shí)零點(diǎn)性以及Lyapunov定理,我們得出圈錯排多項(xiàng)式系數(shù)的漸近正態(tài)性和spiral性.第二部分我們通過r-錯排數(shù)的理論知識以及r-錯排的weak excedance的統(tǒng)計(jì)量,定義了r-錯排多項(xiàng)式.再由r-錯排數(shù)的組合意義以及遞推關(guān)系,得出r-錯排多項(xiàng)式的遞推關(guān)系.最后通過錯排多項(xiàng)式的指數(shù)發(fā)生函數(shù),得出r-錯排多項(xiàng)式的指數(shù)發(fā)生函數(shù).第三部分我們由Eulerian多項(xiàng)式的遞推關(guān)系及指數(shù)發(fā)生函數(shù),得到binomialEulerian多項(xiàng)式的遞推關(guān)系及指數(shù)發(fā)生函數(shù).通過Eulerian多項(xiàng)式是強(qiáng)q-對數(shù)凸的,q-SM的,我們得到binomial-Eulerian多項(xiàng)式也是強(qiáng)q-對數(shù)凸的,q-SM的.
【學(xué)位單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O174.14

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本文編號：2819537