傾斜理論作為Morita等價(jià)的自然推廣,在研究Artin代數(shù)的表示理論中起著重要的作用.Cluster范疇及其傾斜理論是cluster代數(shù)的一個(gè)范疇化模型.作為cluster范疇的推廣,m-cluster范疇和m-cluster傾斜代數(shù)也隨之而生.遺傳代數(shù)的m-重代數(shù)中投射維數(shù)不超過(guò)m的傾斜模與m-cluster范疇中的m-cluster傾斜對(duì)象有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,并且m-重代數(shù)中幾乎傾斜模的mutation序列可以實(shí)現(xiàn)m-cluster范疇中的m-cluster mutation,這促使我們進(jìn)一步研究m-重代數(shù)的傾斜理論.研究?jī)A斜理論主要包含兩方面：一方面是固定代數(shù)的傾斜模之間的關(guān)系；另一方面是傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的表示范疇與自身代數(shù)的模范疇之間的關(guān)系.對(duì)于一個(gè)忠實(shí)的幾乎傾斜模,通過(guò)mutation序列可以把傾斜補(bǔ)一一得到.因此mutation在研究?jī)A斜模和傾斜模的自同態(tài)代數(shù)起著重要的作用.設(shè)A是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù),A的m-cluster范疇Cm(A)作為有界導(dǎo)出范疇Db(A)的一個(gè)商范疇,與Db(A)有著密切的聯(lián)系.為了更好的討論它們之間的關(guān)系,定義了m-cluster范疇的一個(gè)基本域Sm.對(duì)于Sm中的silting對(duì)象,這個(gè)silting對(duì)象也可以看成一個(gè)m-cluster傾斜對(duì)象,反之亦然m-cluster范疇的傾斜理論產(chǎn)生了大量研究結(jié)果,因此在基本域Sm中,導(dǎo)出范疇的傾斜理論可以借助m-cluster范疇的傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容來(lái)討論.本文對(duì)于代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)A,在有界導(dǎo)出范疇Db(A), m-cluster范疇Cm(A)和m-重代數(shù)A(m)的理論基礎(chǔ)上,討論了有界導(dǎo)出范疇和m-重代數(shù)上傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容,主要討論了Db(A)中silting對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)和A(m)中傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì).首先,討論了有界導(dǎo)出范疇Db(A)中傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容.一方面,在m-重代數(shù)中根據(jù)傾斜mutation可以建立傾斜箭圖,同樣的,在m-cluster范疇中通過(guò)m-cluster mutation三角可以得到傾斜箭圖.受這兩個(gè)箭圖的啟發(fā),我們通過(guò)Db(A)中的silting mutation三角構(gòu)建了silting對(duì)象的箭圖ys,并證明了ys是連通的.對(duì)于silting對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的箭圖QT,我們說(shuō)明了QT沒(méi)有圈和2-循環(huán),并且silting對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)是一個(gè)擬-遺傳代數(shù)且它的整體維數(shù)是有限的.另一方面,對(duì)于Sm中的一個(gè)基本silting對(duì)象T,令r=EndD T表示silting對(duì)象T的自同態(tài)代數(shù),少=add T,ω=J*J[1]是一個(gè)三角范疇,我們可以得到ω/add(T[1])與mod Γ模范疇等價(jià).這個(gè)結(jié)果說(shuō)明了三角范疇誘導(dǎo)的商范疇能與silting對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的模范疇等價(jià).這意味著可以從一個(gè)三角范疇得到很多abelian范疇.對(duì)于Sm中的一個(gè)幾乎silting對(duì)象T,它有m+1個(gè)不可分解silting補(bǔ)M0,…,Mm.令Γj=EndD(Mj(?)T)表示Mj所對(duì)應(yīng)的silting對(duì)象的自同態(tài)代數(shù),Jj=add(Mj(?)T),ωj=Jj*Jj[1], 0≤j≤m同樣的,可得ωj/add (Mj(?)T)[1]與mod Γj模范疇等價(jià).進(jìn)一步,令SMj是一個(gè)不可分解投射Γj-模HomD(Mj(?)T,Mj)的單top,則有mod Δj/add SMj與ωj/add(Mj(?)Mj-1(?)T)[1]模范疇等價(jià).如果Jm,則有然后,討論了A(m)中傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì).我們給出了A(m)中傾斜模與D+中silting對(duì)象之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.給定一個(gè)A(m)中的傾斜模T=T1(?)T2(?)…(?)Tn(?)P,這里每個(gè)Ti都是不可分解的,P是A(m)中所有不可分解投射-內(nèi)射模的直和,且deg Ti≤deg Ti+1.即對(duì)于每一個(gè)Ti,都存在不可分解的A-模Ti'和整數(shù)ki,使得Ti竺Ω-kiTi',且0≤κi≤κi+1≤m.則T'=T1'[κ1](?)T2'[κ2](?)…(?)Tn'[κn]是D+中一個(gè)silting對(duì)象.同樣的,對(duì)于D+中一個(gè)silting對(duì)象T=T1(?)T2(?)…(?)Tn,這里每個(gè)Ti都是不可分解的,且deg Ti≤deg Ti+1.即對(duì)于每一個(gè)Ti,都存在不可分解的A-模Ti'和整數(shù)ki,使得Ti=Ti'[κi],且0≤κi≤κ+1≤m.則T=Ω-κ1T1'(?)Ω-κ2T2'(?)…(?)Ω-κnTn'(?)P是一個(gè)傾斜A(m)-模.這里P是A(m)中所有不可分解投射-內(nèi)射模的直和.對(duì)于一個(gè)忠實(shí)的幾乎傾斜A(m)-模M,它有t+1個(gè)互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ).我們證明了由相鄰的補(bǔ)所對(duì)應(yīng)的傾斜模的自同態(tài)代數(shù),可以通過(guò)一個(gè)BB-傾斜模導(dǎo)出等價(jià),即EndA(m)(χi(?)M)可以通過(guò)一個(gè)BB-傾斜模和EndA(m)(Xi+1(?)M)導(dǎo)出等價(jià),0≤i≤t-1.同時(shí)可以得到這t+1個(gè)自同態(tài)代數(shù)之間的關(guān)系,即這里Bi都是BB-傾斜模.根據(jù)導(dǎo)出等價(jià)的不變性,自同態(tài)代數(shù)EndA(m)(Xi(?)M)和自同態(tài)代數(shù)EndA(m)(Xi+1(?)M)保持整體維數(shù)和小維數(shù)的有限性.我們還證明了對(duì)于所有A(m)中的傾斜模的自同態(tài)代數(shù),都能通過(guò)一系列的BB-傾斜模的自同態(tài)代數(shù)反復(fù)迭代所實(shí)現(xiàn).即對(duì)于A(m)中的每一對(duì)基本的傾斜模T1,T2,總是存在一系列的有限維代數(shù)Λ0,Λ1,…,A。,它們都是A(m)中的基本傾斜模的自同態(tài)代數(shù).對(duì)于每一個(gè)Λi,總是存在一個(gè)BB-傾斜模Ai-模Bi,使得(?)0=EndA(m)T1, (?)≌End(?)i-1Bi-1,1≤i≤s, EndA(m)T2≌End(?)sBs
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O154.1

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 Chang Chang XI;;Adjoint Functors and Representation Dimensions[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2006年02期

2 ;Representation dimension of m-replicated algebras[J];Science China(Mathematics);2010年06期

本文編號(hào)：2819250