振動(dòng)是工程技術(shù)與自然科學(xué)中普遍存在的現(xiàn)象,各種振動(dòng)過程都可以在振動(dòng)理論中用數(shù)學(xué)物理方法統(tǒng)一起來。振動(dòng)理論分為線性振動(dòng)理論和非線性振動(dòng)理論。由于疊加原理的存在,使得線性振動(dòng)理論被研究得十分詳盡。相反,因?yàn)樵诜蔷�性振動(dòng)系統(tǒng)中疊加原理不再成立,所以對于非線性振動(dòng)系統(tǒng)不存在普遍適用的解法。因此,非線性振動(dòng)問題的分析與計(jì)算方法的研究就顯得尤為重要。解析逼近解可以給出解的顯式表達(dá)式,從而可以直接討論相關(guān)參數(shù)對解的影響,因此解析逼近法是研究非線性振動(dòng)系統(tǒng)的重要方法。攝動(dòng)法是最普遍用于求非線性振動(dòng)解析逼近解的方法,但是幾乎所有的攝動(dòng)法都要基于方程中小參數(shù)的存在。而這個(gè)小參數(shù)很大程度限制了攝動(dòng)方法的應(yīng)用,尤其是對于不存在小參數(shù)的強(qiáng)非線問題。諧波平衡法的優(yōu)勢是可以應(yīng)用到強(qiáng)非線性和沒有小參數(shù)的問題中。但是由于諧波平衡法中要得到更高階的解析近似解需要求解一個(gè)復(fù)雜的非線性代數(shù)方程組,所以這個(gè)方法難以用來構(gòu)造更高精度的解析近似解。本文提出了兩種構(gòu)造強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)解析逼近周期和周期解的方法�？紤]非線性振動(dòng)系統(tǒng)d2u/dt2+f(u)= 0,u(0)= A,du/dt(0)= 0(1)恢復(fù)力-f(u)是u的奇函數(shù),即f(-u)=-f(u),且當(dāng)u≠0時(shí),uf(u)0。顯然u = 0為系統(tǒng)的平衡位置,系統(tǒng)將在對稱區(qū)間[-A,A]內(nèi)振動(dòng)。引進(jìn)變量τ = ωt,使用這個(gè)新變量,方程(1)變?yōu)槿缦滦问絈u+ f(u)= 0,u(0)= A,u(0)= 0(2)式中Ω= ω2,符號圓點(diǎn)表示對τ的微分,選擇這個(gè)新的獨(dú)立變量可令方程(2)的解為一個(gè)關(guān)于τ的周期為2τ的周期函數(shù)。非線性振動(dòng)的相應(yīng)的頻率為ω=(?)。周期解u(τ)和頻率ω都取決于振幅A。1.二階牛頓-諧波平衡法根據(jù)單項(xiàng)諧波平衡法設(shè)初始逼近為這個(gè)逼近滿足(2)式中的初值條件。利用奇函數(shù)假設(shè)f(-u)=(-f,可將f(u1(τ))展成Fourier級數(shù)將式(3),(4)代入方程(2)中,并令cosτ的系數(shù)為零,可得出Ω(A)的初始逼近設(shè)方程(2)的周期解為u(τ)和頻率的平方Ω(A)分別為將(6)式代入(2)式后做Taylor展開,忽略關(guān)于Au1,△Ω1的三階及更高階的項(xiàng)可得式中下標(biāo)u代表f(u)對u的導(dǎo)數(shù)。此處的Au1是一個(gè)關(guān)于τ的周期為2π的周期函數(shù),并且△u1和△Ω1均為未知量,上述方程仍為非線性方程,難以求解。將求解過程分為如下兩部分,首先對(7)式關(guān)于△u1和AQ1線性化,得到為求方程(8)的解析近似解,將Au10(τ)設(shè)為以下形式將方程(9)代入(8),利用諧波平衡法可得到△Ω10和Au10,繼而得到第二個(gè)解析逼近周期和周期解分別為接下來,將方程(7)中的△Ω1△u1項(xiàng)的△Ω1用先前求解出的△Ω10代替并將0.5fuu(u1)(△u1)2中的兩個(gè)△u1中的一個(gè)用已求得的△u10替換,即得到關(guān)于△u1和△Q1的線性方程將(12)中的△u1(τ)設(shè)為再利用諧波平衡法求出y1,y2和△Ω1,則可得到第三個(gè)解析逼近周期和周期解我們可以通過用最后一個(gè)逼近解u3和ω3分別代替u1和ω1然后執(zhí)行和上述過程類似的步驟來構(gòu)造更高精度的解析逼近解。2.預(yù)估-校正-諧波平衡法根據(jù)單項(xiàng)諧波平衡法,首先設(shè)基于奇函數(shù)假設(shè)f(-u)=-f(u),將f(u0(τ))展成如下Fourier級數(shù)形式將方程(16)和(17)代入方程(2),令cosτ的系數(shù)為零,可以得到Ω(A)的初始逼近接下來,結(jié)合預(yù)估-校正方法和諧波平衡方法來求解方程(2)。第一步對方程(2)進(jìn)行線性化,周期解和頻率的平方即可表示成下述形式將(19)式代入方程(2),再關(guān)于△u10和△Ω10線性化得到方程(20)的解析逼近解可以通過將Au10(τ)設(shè)成下述形式再利用諧波平衡法求得。在解出△u10和△Ω10后可得預(yù)估的解析逼近周期與周期解基于上述預(yù)估解,方程組(2)的周期解和頻率平法可以進(jìn)一步表示成再將(24)式代入方程(2)中并將得到的表達(dá)式仍然在u=u0和Ω=Ω0處關(guān)于校正項(xiàng)△u20和△Ω20做線性化,得到方程(25)的解析解可以通過將△u20(τ)的設(shè)成下述形式再利用諧波平衡法求得,繼而得到校正的解析逼近周期與周期解我們可以通過用最后一個(gè)逼近解uc和ωc分別代替u1和ω1然后執(zhí)行和上述過程類似的步驟來構(gòu)造更高精度的解析逼近解。我們應(yīng)用上述兩種方法研究了 Duffing振子,反對稱的常值恢復(fù)力振子,分?jǐn)?shù)冪恢復(fù)力的振子,恢復(fù)力與位移變量成反比的振子和Duffing-Harmornic振子等強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng),建立了這些系統(tǒng)的高精度解析逼近周期與周期解。上述方法還可以進(jìn)一步應(yīng)用于更復(fù)雜的非線性問題的求解,例如微機(jī)電系統(tǒng)。3.微/納機(jī)電系統(tǒng)的振動(dòng)考慮一個(gè)由彈性材料制作的受單側(cè)電極靜電驅(qū)動(dòng)的兩端固支的微/納米梁。假設(shè)氣隙的大小遠(yuǎn)小于梁的長度,忽略殘余應(yīng)力的梯度,即將殘余應(yīng)力看成是均勻的。模型參數(shù)b、h(bh)以及L分別為梁的寬度、厚度以及長度,梁與電極間的氣隙為g,沿軸向的應(yīng)力為N,V為固定電極的電勢。忽略阻尼項(xiàng),此結(jié)構(gòu)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程可以表示成運(yùn)用Galerkin方法,選擇形函數(shù) 可推出其單自由度縮減模型式中令關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于零,可以得到以梁的靜態(tài)撓度as表示的電勢V。接下來系統(tǒng)的撓度可以表示為將(32)式代入(31)式,并在a = as點(diǎn),將F(as+ u,V)關(guān)于u作Taylor展開,保留增量u的一階線性部分,可以得到線性自由振動(dòng)的固有頻率為非線性振動(dòng)系統(tǒng)的降階模型的運(yùn)動(dòng)方程為式中f(u,y)=F(as+u,V),此系統(tǒng)在非對稱區(qū)間[-B,A]振動(dòng),式中與恢復(fù)力-f(u,)對應(yīng)的勢能Π(u,V)在-B(B0)和A點(diǎn)相等,也就是Π(-B,V)=Π(A,y)。接下來將恢復(fù)力-f(u,V)的分母在u= 0點(diǎn)做三階Taylor展開,方程(34)可近似化為引入一個(gè)新的獨(dú)立變量τ=ωt,方程(35)改寫成式中Ω = ω2,(')為對于變量τ的微分。引入兩個(gè)在對稱域[-H,H]振動(dòng)的非線性系統(tǒng)對于λ = +1時(shí),H=A;λ=-1時(shí),H=B 再利用前述兩節(jié)方法中的步驟,分別求出利用這些解析近似解,方程(36)的第n個(gè)(n= 1,2)解析近似周期及周期解可以被構(gòu)造成如下形式本文提出了既簡單又易于應(yīng)用的新方法。這些方法不要求非線性振動(dòng)方程中含有小參數(shù)也不要求恢復(fù)力含有位移的線性項(xiàng)。這些方法建立了既適用于小振幅又適用于大振幅的解析逼近周期與周期解,特別也包括振幅趨于無窮的極限情形,且所得逼近解具有很高的逼近精度。
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2017
【中圖分類】：O175;O322
【部分圖文】：

以及上述解的絕對誤差分別在圖2.1-2.4 中畫出。這些圖顯示公式(2. 37)無論對于硬特性( β > 0)非線性還是軟特性( β < 0)非線性都能給出逼近精度很高的近似解。尤其是方程(2. 37)所表示的解析逼近周期解比 ( )W3u t 更簡潔，除了2β A靠近2β A= 1 的很小范圍外，他們有相似的精度。18

例1中α=1，β=1和A=0.9情況下解析近似周期解和數(shù)值解絕對誤差的比較

例1中α=1，β=1和A=10情況下解析近似周期解和數(shù)值解的比較

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