本論文的研究?jī)?nèi)容屬于凸幾何分析,內(nèi)容涉及仿射等周不等式與OrliczBrunn-Minkowski理論Brunn-Minkowski理論是凸幾何分析的核心內(nèi)容,它的發(fā)展起源于對(duì)兩個(gè)凸體與它們的Minkowski和之間的體積關(guān)系的研究,由此產(chǎn)生了著名的Brunn-Minkowski不等式,整個(gè)Brunn-Minkowski理論的奠基石.仿射等周不等式主要研究凸體的一些仿射量的極值問(wèn)題,是凸幾何分析理論中的一個(gè)重要組成部分.經(jīng)典的仿射量包括仿射表面積,投影體的體積,質(zhì)心體的體積等,它們?cè)谛畔⒄?分析學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.仿射等周不等式的另一個(gè)意義是：經(jīng)典等周不等式特征了單位球,而一般的仿射等周不等式能夠特征更多重要的幾何體,如橢球,單形,立方體,平行多面體等等.在本文第二章,我們將對(duì)Orlicz Brunn-Minkowski理論的理論框架展開(kāi)研究.這個(gè)理論起源于Lutwak, Yang和Zhang [89,90]在2010年的工作.在本章,我們定義了凸體的Orlicz加法,建立了相應(yīng)的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.更多地,我們也將Lp混合體積推廣到了Orlicz情形,并使用我們的Orlicz Brunn-Minkowski不等式證明了關(guān)于Orlicz混合體積的Minkowski型不等式.這些結(jié)果是Lp Brunn-Minkowski理論中的基本量和基本不等式的推廣本論文第三章的主要研究?jī)?nèi)容是Lp平均帶形的仿射等周不等式.平均帶形的定義是由Zhang(華人數(shù)學(xué)家張高勇教授)[116]在首次證明著名的逆Petty投影不等式一文中提出的,并且他在該文中使用積分幾何的方法得到了關(guān)于這種幾何體的仿射等周不等式.關(guān)于Lp平均帶形的體積不等式,延續(xù)該方法似乎并不適用,我們?cè)诒疚闹惺褂肧teiner對(duì)稱的技術(shù)證明了關(guān)于它的仿射等周不等式.在最后一章,我們首先對(duì)Dar猜想展開(kāi)研究.這個(gè)猜想是以色列數(shù)學(xué)家Dar在1999年提出的,是Brunn-Minkowski不等式的一個(gè)強(qiáng)化版.2011年,Campi, Gardner和Gronchi [14, Page 1208]指出：即使對(duì)于2維的中心對(duì)稱凸體,這仍是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題.我們?cè)诒疚闹凶C明了這個(gè)猜想對(duì)2維的所有凸體都是正確的,并且給出了等號(hào)成立的充要條件.關(guān)于平面原點(diǎn)中心對(duì)稱凸體的log-Brunn-M inkowski不等式是由Boroszky, Lutwak, Yang,和Zhang [9]于2012年建立的.對(duì)于平面上的原點(diǎn)中心對(duì)稱凸體,它強(qiáng)于經(jīng)典的Brunn-Minkowski不等式.隨后,他們提出一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題：是否存在一個(gè)一般版本的log-Brunn-Minkowski不等式,使得對(duì)任意的平面凸體K,L都成立.在我們對(duì)Dar猜想的證明中,我們提出了“膨脹位置”的概念,這啟發(fā)我們得到了一個(gè)一般版本的log-Brunn-Minkowski不等式.和預(yù)期的一樣,對(duì)于所有平面凸體,這個(gè)新的不等式都強(qiáng)于經(jīng)典的Brunn-Minkowski不等式.
【學(xué)位單位】：上海大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類(lèi)】：O186.5

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本文編號(hào)：2815842