本論文主要研究了幾何分析中兩方面的問題:一是單位球面Sn中凸區(qū)域上特征'值的基本間隙問題,二是Bakry-(?)mery Ricci曲率積分條件下局部Sobolev常數(shù)估計(jì)及應(yīng)用.基本間隙問題是幾何分析領(lǐng)域中一個(gè)重要課題,它是指Laplacian算子或Schrodinger算子的基本間隙(前兩個(gè)特征值之差)的最優(yōu)下界估計(jì).著名的基本間隙猜想(S.T.Yau問題集中§IV節(jié)譜的一個(gè)補(bǔ)充問題[69])稱Rn中直徑為D凸區(qū)域上Laplacian算子或帶有凸位勢的Schrodinger算子在Dirichlet邊值條件下基本間隙的最優(yōu)下界是3π2/D2.經(jīng)過數(shù)學(xué)家們幾十年的努力,在2011年B.Andrews與J.Clutterbuck[2]完全解決了該猜想,進(jìn)而猜想常截面曲率空間中也有類似的結(jié)論.本文研究了單位球面Sn中凸區(qū)域上類似的基本間隙猜想,即證明了 Sn(n ≥ 3)中直徑不超過π/2的有界凸區(qū)域的基本間隙最優(yōu)下界估計(jì),在韋國芳等人后續(xù)的工作[31,39]中分別去掉了維數(shù)和直徑的限制,從而完全解決了 Sn的情形.另一方面,Sobolev不等式是幾何分析中一個(gè)重要工具.Sobolev常數(shù)的估計(jì)通常依賴于體積比較定理,因此它與流形的曲率密切相關(guān).不同曲率條件下的局部Sobolev常數(shù)估計(jì)已有很長的歷史，一個(gè)最新結(jié)果是Dai-Wei-Zhang[32]在不要求體積非塌縮的條件下得到了積分曲率條件下的局部Sobolev常數(shù)估計(jì).本文將該結(jié)論推廣到Bakry-(?)mery Ricci曲率積分條件的情形.針對上述問題,本文具體工作如下:在第一章中,我們回顧了基本間隙問題的研究背景及最新進(jìn)展,以及不同曲率條件下局部Sobolev不等式的發(fā)展歷程及現(xiàn)狀.在此基礎(chǔ)上介紹了本文的主要工作及創(chuàng)新點(diǎn).第二章中我們主要研究了單位球面Sn中凸區(qū)域上的基本間隙猜想.證明了維數(shù)n ≥ 3時(shí)Sn中直徑D ≤ π/2的凸區(qū)域上基本間隙的最優(yōu)下界是D2.為此,首先考慮了一維模型空間的基本間隙,得到n ≥ 3時(shí)最優(yōu)下界為D2.其次,應(yīng)用多點(diǎn)極大值原理證明了第一特征函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵結(jié)論-log-concavity比較定理,得到該定理成立的條件為Sn中凸區(qū)域的直徑不超過7.最后應(yīng)用log-concavity比較定理和兩點(diǎn)距離函數(shù)的“Laplacian比較定理”建立了基本間隙比較定理.在第三章中,利用局部Sobolev常數(shù)與等周常數(shù)的等價(jià)性,我們建立了完備的光滑度量測度空間中Bakry-(?)mery Ricci曲率積分條件下局部Sobolev不等式.作為應(yīng)用,我們得到了該曲率條件下的極大值原理和梯度估計(jì).
【學(xué)位單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O186.12

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本文編號：2815508