【摘要】：Lorenz在1963年首次發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子以來,混沌理論在許多領(lǐng)域中獲得了前所未有的發(fā)展.五十多年以來,對混沌的研究已經(jīng)成為現(xiàn)代非線性科學(xué)最核心的研究課題之一.Lorenz系統(tǒng)被認為是混沌的第一個數(shù)學(xué)模型,是混沌學(xué)發(fā)展史上的一個重要的里程碑,具有舉足輕重的意義.具有兩個或兩個以上正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)被稱為超混沌系統(tǒng),相對于混沌現(xiàn)象,超混沌系統(tǒng)的吸引子軌道在更多方向上分離.因此超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為比混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜,其隨機性和不可預(yù)測性也更強.同時,超混沌在非線性理論及電子技術(shù)等領(lǐng)域有著更廣泛的應(yīng)用,其研究方向涉及保密通信、非線性電路和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等,使得超混沌系統(tǒng)的研究具有更為廣闊的發(fā)展前景,這方面研究引起了數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的科學(xué)家的廣泛關(guān)注.近年來,由于超混沌系統(tǒng)的維數(shù)較高,對超混沌系統(tǒng)的探討主要集中在四維系統(tǒng),而對五維系統(tǒng)的研究不多,尤其對于具有三個正的Lyapunov指數(shù)的五維系統(tǒng)動力學(xué)的研究就更少.基于Lorenz型系統(tǒng),通過引入反饋控制器,本文提出一類具有三個正的Lyapunov指數(shù)的五維Lorenz型超混沌受控系統(tǒng),嚴格證明該系統(tǒng)與Yang-5D超混沌系統(tǒng)在控制項一致的情況下的不等價性,并研究其復(fù)雜動力學(xué)行為.運用含參中心流形定理、規(guī)范型理論及微分方程幾何理論等方法,研究雙曲、非雙曲平衡點的穩(wěn)定性及分岔(包括叉型分岔和Hopf分岔)等復(fù)雜動力學(xué),進一步討論系統(tǒng)在無窮遠處的動力學(xué)性質(zhì).本文的主要內(nèi)容如下:第一章為緒論,簡述本文的研究背景、目前國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀,混沌及超混沌理論的動態(tài)發(fā)展趨勢.概述了本文中所用的方法、理論,介紹了經(jīng)典的超混沌系統(tǒng)和四維、五維Lorenz型超混沌系統(tǒng)的研究情況.第二章基于Lorenz型系統(tǒng),提出了一類具有三個正的Lyapunov指數(shù)的五維超混沌系統(tǒng)(簡稱Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)),給出此系統(tǒng)雙曲平衡點穩(wěn)定的充分必要條件,并嚴格證明在相同的控制項下,Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)與Yang-5D超混沌系統(tǒng)不光滑等價.第三章討論了Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)非雙曲平衡點的穩(wěn)定性及局部分岔問題.利用中心流形定理和規(guī)范型理論分別研究具有一個零特征值和兩個零特征值的非雙曲平衡點的穩(wěn)定性;再運用含參中心流形定理研究系統(tǒng)的叉形分岔,得到了分岔參數(shù)取臨界值時新系統(tǒng)在平衡點處的動力學(xué)行為.進一步,通過運用高維Hopf分岔理論和嚴格的符號推理,討論系統(tǒng)的Hopf分岔問題,得到發(fā)生Hopf分岔的條件、Hopf分岔分支出的周期解的近似表達式及相應(yīng)的分岔方向.第四章討論了Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為.首先根據(jù)Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincar′e映射等分別驗證特有的超混沌動力學(xué)性質(zhì).當選取適當參數(shù)時,Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生超混沌、混沌、周期和擬周期等復(fù)雜動力學(xué)行為,特別是具有三個正的Lyapunov指數(shù)的超混沌行為.當系統(tǒng)的參數(shù)取定時,通過改變系統(tǒng)的初值得到吸引子共存的現(xiàn)象,包括超混沌吸引子與周期吸引子共存、超混沌吸引子與擬周期吸引子共存、兩個周期吸引子共存.進一步,運用R5空間中的Poincar′e緊致化方法,通過可逆的坐標變換,將Lorenz-5D超混沌系統(tǒng)在其相空間中的向量場分別投影到五個局部坐標卡上,分析系統(tǒng)在坐標卡上的新向量場,得到系統(tǒng)在無窮遠處的動力學(xué)性質(zhì).
【學(xué)位授予單位】：華南理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O415.5;O175

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 郝柏林;分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它——關(guān)于確定論系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性[J];物理學(xué)進展;1983年03期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 劉永建;三維Lorenz-like系統(tǒng)的動力學(xué)分析與超混沌研究[D];華南理工大學(xué);2010年

本文編號：2799517