【摘要】：對于一個(gè)橢圓偏微分方程,它的解的幾何性質(zhì)具有很高的研究價(jià)值,特別是對其解的水平集進(jìn)行的研究.本文主要是利用常秩定理和形變過程對定義在二維空間形式上的極大嚴(yán)格類空超曲面的水平集的幾何性質(zhì)進(jìn)行了討論.最終我們得到一些幾何性質(zhì),包括水平集的正則性,嚴(yán)格凸性和曲率估計(jì).本論文主要分為五個(gè)部分:第一部分,我們介紹了有關(guān)這方面的研究歷史以及與此相關(guān)的結(jié)論.然后給出了本篇論文中的兩個(gè)定理,定理1.4與定理1.6.在第二部分,我們給出了在證明過程中會使用到的符號和預(yù)備知識.特別地,我們給出黎曼流形上的極大類空圖的方程和其解的水平集的曲率.在第三部分,我們將證明常秩定理來描述凸水平集的一個(gè)性質(zhì).在第四部分,我們開始證明定理1.4.在第五部分,我們開始計(jì)算定理1.6.本文主要的兩個(gè)定理如下:定定理1.4設(shè)(M~2,g)為具有常截面曲率?的空間形式,?_0和?_1是M~2內(nèi)有界光滑嚴(yán)格凸區(qū)域,（？）_1（？）?_0.設(shè)下面這個(gè)定義在?=?_0\（？）_1上的極大嚴(yán)格類空圖方程（？）(1.3)在（？）上有一個(gè)光滑嚴(yán)格類空解u,則在整個(gè)（？）上%絬≠0,且u的水平集關(guān)于%絬都是嚴(yán)格凸的.定定理1.6設(shè)u是定義在具有常高斯曲率∈的黎曼流形M~2上的方程(1.3)的解.設(shè)k_g為u的水平集的測地曲率.對于φ=(?),有下列關(guān)系成立.(?),其中a_(ij)=(1-|%絬|~2)δ_(ij)+u_iu_j為極大曲面算子.
【學(xué)位授予單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175.25;O186.12

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本文編號：2798371