【摘要】：對(duì)于一個(gè)橢圓偏微分方程,它的解的幾何性質(zhì)具有很高的研究?jī)r(jià)值,特別是對(duì)其解的水平集進(jìn)行的研究.本文主要是利用常秩定理和形變過(guò)程對(duì)定義在二維空間形式上的極大嚴(yán)格類空超曲面的水平集的幾何性質(zhì)進(jìn)行了討論.最終我們得到一些幾何性質(zhì),包括水平集的正則性,嚴(yán)格凸性和曲率估計(jì).本論文主要分為五個(gè)部分:第一部分,我們介紹了有關(guān)這方面的研究歷史以及與此相關(guān)的結(jié)論.然后給出了本篇論文中的兩個(gè)定理,定理1.4與定理1.6.在第二部分,我們給出了在證明過(guò)程中會(huì)使用到的符號(hào)和預(yù)備知識(shí).特別地,我們給出黎曼流形上的極大類空?qǐng)D的方程和其解的水平集的曲率.在第三部分,我們將證明常秩定理來(lái)描述凸水平集的一個(gè)性質(zhì).在第四部分,我們開始證明定理1.4.在第五部分,我們開始計(jì)算定理1.6.本文主要的兩個(gè)定理如下:定定理1.4設(shè)(M~2,g)為具有常截面曲率?的空間形式,?_0和?_1是M~2內(nèi)有界光滑嚴(yán)格凸區(qū)域,（？）_1（？）?_0.設(shè)下面這個(gè)定義在?=?_0\（？）_1上的極大嚴(yán)格類空?qǐng)D方程（？）(1.3)在（？）上有一個(gè)光滑嚴(yán)格類空解u,則在整個(gè)（？）上%絬≠0,且u的水平集關(guān)于%絬都是嚴(yán)格凸的.定定理1.6設(shè)u是定義在具有常高斯曲率∈的黎曼流形M~2上的方程(1.3)的解.設(shè)k_g為u的水平集的測(cè)地曲率.對(duì)于φ=(?),有下列關(guān)系成立.(?),其中a_(ij)=(1-|%絬|~2)δ_(ij)+u_iu_j為極大曲面算子.
【學(xué)位授予單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.25;O186.12

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本文編號(hào)：2798371