【摘要】：本論文研究R2中有界區(qū)域上不可壓縮的隨機(jī)Navier-Stokes方程和隨機(jī)二階流體方程,Navier-Stokes方程描述的是牛頓流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,二階流體方程描述的是一類非牛頓流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。我們首先考察隨機(jī)Navier-Stokes方程,研究其一類逼近問題,即我們將證明由純跳噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Navier-Stokes方程的解會(huì)逼近到由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Navier-Stokes方程的解。我們?cè)谇‘?dāng)?shù)臈l件下得到了上述逼近結(jié)果。證明這個(gè)逼近問題的困難在于確立逼近方程的解在L2-值的右連左極軌道空間中的胎緊性。為了克服這個(gè)困難,我們先假設(shè)初值、外力和跳噪聲的系數(shù)取值于更高正則性的函數(shù)空間,從而能夠得到逼近方程解的更強(qiáng)范數(shù)的一致估計(jì),并利用這些估計(jì),確立了逼近方程解的胎緊性,然后通過鞅刻畫,我們證明了逼近方程的解的極限就是由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Navier-Stokes方程的解。之后,我們通過有限維投影對(duì)初值、外力、跳噪聲的系數(shù)進(jìn)行逼近,得到了與這種有限維投影相對(duì)應(yīng)的方程的解在依概率意義下的一致收斂性,從而我們可以去掉對(duì)初值、外力和跳噪聲的系數(shù)的限制。在第二部分中,我們考察隨機(jī)二階流體方程,從以下三個(gè)方面進(jìn)行了研究。一、由Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)二階流體方程的概率強(qiáng)解的存在唯一性。我們采用變分法,證明了二階流體方程滿足局部單調(diào)性條件。但是目前已有文獻(xiàn)中的各種變分框架都覆蓋不了本論文所考慮的情況,原因是那些框架所需要的強(qiáng)制性(coercivity)條件或廣義的強(qiáng)制性條件二階流體方程均不滿足。在本論文中,我們導(dǎo)出了非線性curl-項(xiàng)一個(gè)新的正交性質(zhì)(即在Sobolev空間W3,2的一個(gè)等價(jià)范數(shù)對(duì)應(yīng)的內(nèi)積下,curl-項(xiàng)與解是正交的),從而建立了 Galerkin逼近解W3,2-范數(shù)的一致估計(jì),進(jìn)而得到了 Galerkin逼近序列相應(yīng)的收斂性。通過充分利用局部單調(diào)性,我們證明了由Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的二階流體方程的概率強(qiáng)解的整體存在性和唯一性。我們的結(jié)果也適用于由高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的情形,并且改進(jìn)了文獻(xiàn)中鞅解已有的相應(yīng)結(jié)果,而且我們所用的方法更簡(jiǎn)單。二、我們考察由線性乘法高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)二階流體方程的解所生成的動(dòng)力系統(tǒng),得到了三個(gè)主要結(jié)果:1.解生成了一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng);2.此系統(tǒng)在相空間中具有較高正則性的點(diǎn)處是Fréchet可微的;3.此隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)是漸近緊性的,且擁有隨機(jī)吸引子,當(dāng)噪聲強(qiáng)度趨于零時(shí),隨機(jī)吸引子是上半連續(xù)性的。由于二階流體方程的高度非線性性和curl-項(xiàng)的出現(xiàn),使得二階流體方程的耗散性很弱,解算子不是光滑的也不是緊的,從而很難直接構(gòu)造一個(gè)緊的不變的隨機(jī)吸收集。在本論文中,我們通過布朗運(yùn)動(dòng)的指數(shù)變換,將隨機(jī)二階流體方程化為一個(gè)帶有隨機(jī)系數(shù)的偏微分方程。我們一方面證明了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)存在一個(gè)隨機(jī)吸收球,另一方面得到了隨機(jī)二階流體方程的解所滿足的能量方程。利用這些結(jié)果,我們建立了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的漸近緊性和隨機(jī)吸引子的存在性。進(jìn)一步,通過利用漸近緊性,我們得到了隨機(jī)吸引子的上半連續(xù)性。三、由線性乘法高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)二階流體方程的非適應(yīng)初值問題解的存在唯一性。證明這個(gè)問題的困難之處在于無(wú)窮維框架下Kolmogorov連續(xù)性定理不成立。因此,我們采用如下三個(gè)步驟:第1步、得到關(guān)于希爾伯特值隨機(jī)變量的Malliavin導(dǎo)數(shù)的一個(gè)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則;第2步、在合理的條件下建立Skorohod不定積分的一個(gè)乘積公式;第3步、利用Galerkin逼近來(lái)證明帶確定性初值的隨機(jī)二階流體方程的解是Malliavin可微的。結(jié)合這三個(gè)步驟,并利用布朗運(yùn)動(dòng)的指數(shù)變換,我們證明了若將確定性初值看做隨機(jī)二階流體方程解的一個(gè)無(wú)窮維參數(shù),則把非適應(yīng)初值帶入這個(gè)參數(shù)后,得到的過程恰好是相應(yīng)的非適應(yīng)初值問題的解。利用布朗運(yùn)動(dòng)的指數(shù)變換和建立的Skorohod不定積分的乘積公式,我們很容易得到二階流體方程非適應(yīng)初值問題解的唯一性。本論文中建立的Skorohod不定積分的乘積公式,可以用來(lái)解決更一般框架下由線性乘法噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程的非適應(yīng)初值問題。
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：2796203