【摘要】：在自然界、國民經(jīng)濟(jì)以及軍事科技等領(lǐng)域,偏微分方程在描述事物發(fā)展運(yùn)動(dòng)規(guī)律方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.隨著物理以及其他學(xué)科所研究的對(duì)象在深度和廣度兩方面的擴(kuò)展,其應(yīng)用范圍更加廣泛,它可以對(duì)各種各樣的現(xiàn)象進(jìn)行建模,比如:熱學(xué)、量子力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)等等.波傳播偏微分方程可以用來描述自然世界以及物理世界中的許多波動(dòng)現(xiàn)象,比如對(duì)波在聲學(xué)、電磁學(xué)和流體力學(xué)中的傳播進(jìn)行模擬.然而,對(duì)大多數(shù)的偏微分方程,特別是非線性方程,一般情況下用分析的方法得其精確解或解析解是十分困難的.隨著軟件技術(shù)和計(jì)算機(jī)硬件的飛速發(fā)展,數(shù)值模擬日益成為求解偏微分方程的重要方法[2,35].本文主要研究了三類求解波傳播偏微分方程有效數(shù)值方法,這三類方程分別為:薛定諤方程,磁化等離子體中耦合電流的麥克斯韋方程組和正則長波方程.薛定諤方程是由奧地利物理學(xué)家于1926年提出,用于描述量子力學(xué)中波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程.它揭露了微觀物理世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律[20],如同牛頓第二定律在經(jīng)典力學(xué)中所起的作用一樣,它是原子物理中處理一切非相對(duì)論問題的非常有力的一個(gè)工具,在原子、分子、流體物理、凝聚態(tài)物理、核物理等方面被廣泛應(yīng)用.薛定諤方程通常被稱為孤子波動(dòng)方程,是一種表達(dá)物理學(xué)系統(tǒng)發(fā)展的偏微分方程.非線性薛定諤方程[117]在非線性物理中有著很多成功的應(yīng)用[22,74,75,120],如非線性光學(xué)、玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)、等離子體物理以及流體力學(xué)、激光脈沖中的自聚焦、晶體中的熱脈沖傳播等系統(tǒng)中的非線性波動(dòng)問題都能用非線性薛定諤方程計(jì)算[4,20,26,48,70,99,122].基于上述原因,建立一個(gè)有效求解薛定諤方程的數(shù)值方法便成了 一項(xiàng)重要任務(wù).關(guān)于薛定諤方程初邊值問題的數(shù)值解已經(jīng)有很多的研究,比如不連續(xù)的Galerkin方法[73,140],有限元方法[10,51,62],譜方法[13,76],Meshless 方法[37],Split-step 方法[36,98].近年來,薛定諤方程的緊致有限差分方法引起了人們很大的興趣.一般情況下,普通的Crank-Nicolson格式(如[135])在求解高維或者大區(qū)域的薛定諤方程的實(shí)際問題時(shí)會(huì)帶來巨大的計(jì)算量.因此,提出一種守恒緊致分裂步有限差分格式來求解高維薛定諤方程非常重要.據(jù)我們所知,許多物理問題定義在無界區(qū)域,因此研究無界區(qū)域的薛定諤方程更具有實(shí)際應(yīng)用性.然而,計(jì)算區(qū)域的無界性給數(shù)值計(jì)算帶來很大的挑戰(zhàn),因?yàn)橐话慊趨^(qū)域的方法,比如有限差分或者有限元方法,僅僅能夠處理有限維度的系統(tǒng),當(dāng)計(jì)算區(qū)域是無界時(shí),這些方法是不可能求解的.為了數(shù)值求解定義在無界區(qū)域的微分方程,一般情況下考慮有限子區(qū)域和強(qiáng)加一個(gè)人工邊界條件[8,15,40,90,110,157].但是在構(gòu)造離散人工條件方面有一定的困難,特別是對(duì)于非線性方程.離散的人工邊界條件經(jīng)常會(huì)破壞整個(gè)有限差分格式的穩(wěn)定性,比如,用于薛定諤方程的Crank-Nicolson方法的無條件穩(wěn)定性被破壞[129].而且,在人工邊界處可能會(huì)引起數(shù)值震蕩.對(duì)于無界區(qū)域的非線性薛定諤方程來說,構(gòu)造無條件穩(wěn)定并且在邊界處不引起任何震蕩的數(shù)值格式是一件很重要的研究工作.等離子體物理是20世紀(jì)30年代開始發(fā)展起來的研究等離子體與電磁場及其它物質(zhì)形態(tài)相互作用的一門學(xué)科.等離子體與電磁波的相互作用,即電磁波在等離子體中的透射、反射和衰減等問題,一直都是非常有實(shí)際意義的一個(gè)研究領(lǐng)域.近年來,等離子體技術(shù)在等離子體天線、等離子體波導(dǎo)、飛行器隱身和“捷變鏡”雷達(dá)等領(lǐng)域的應(yīng)用研究日益受到各軍事大國的重視,其原理就是利用電磁波與等離子體相互作用的特性,以等離子體材料替代或者對(duì)原有工作設(shè)備加以改進(jìn),實(shí)現(xiàn)或提高新的性能以滿足不斷增長的工業(yè)和軍事需求[55,56,72,130,147].電磁波與等離子體之間的相互作用最早追溯到1957年蘇聯(lián)發(fā)射人造衛(wèi)星,這是人類第一次獲得有關(guān)電磁波與等離子體之間相互作用的資料[126].從這之后,電磁波與等離子體相互作用的研究不斷發(fā)展,從最初僅關(guān)注等離子體中電磁波的傳播理論,發(fā)展到現(xiàn)在廣泛的實(shí)際應(yīng)用與更深的理論研究,例如:表面波等離子體,等離子體隱身,等離子體與太赫茲頻段電磁波的相互作用,等離子體天線等.磁化等離子體可利用耦合線性電流模型的非平穩(wěn)麥克斯韋方程組來建模.目前已經(jīng)有一些顯式時(shí)域有限差分(FDTD)方法來分析電磁波輻射,例如:遞歸卷積的FDTD[69,88],分段線性電流密度遞歸卷積(PLCDRC)FDTD方法[85,86],電場和電流密度卷積(JEC)的顯式FDTD方法[138,139]等等.其實(shí)早在1966年,Yee在[144]中提出了時(shí)域有限差分方法求解經(jīng)典麥克斯韋方程組.但是基于交錯(cuò)網(wǎng)格和中心差分的顯式Y(jié)ee格式,存在難以忽視的弊端,即它是條件穩(wěn)定的,也就是說時(shí)間步長受到CFL穩(wěn)定性條件的限制.對(duì)于要求幾何細(xì)節(jié)和高質(zhì)量因子的應(yīng)用來說,這種限制使得顯式格式不太實(shí)用[127].為了克服CFL條件的局限性,在求解磁化等離子體模型的時(shí)域有限差分方面,部分研究者提出了無條件穩(wěn)定的算法,比如:[31,136]提出了一步蛙跳交替方向隱式FDTD方法,Hosseini[65]等人提出了一種具有局部無條件穩(wěn)定性的三步一維FDTD方法.但這些方法能量是不守恒的.構(gòu)造具有能量守恒特征且無條件穩(wěn)定的數(shù)值算法對(duì)于等離子體材料中的麥克斯韋方程組的計(jì)算具有很重要的意義,保持離散情形下等離子體材料中電磁場的能量恒等式使得能夠更加可靠和有效地對(duì)實(shí)際的物理問題進(jìn)行模擬,因此提出一種計(jì)算各向異性磁化等離子體中電磁波傳播的能量守恒的且無條件穩(wěn)定的FDTD格式是一項(xiàng)重要而困難的任務(wù).正則長波方程RLW(Regularized Long Wave)是包含時(shí)間變量的許多重要的偏微分方程之一,常用于研究非線性色散介質(zhì)流體中長波的單向傳播.它最初由Peregrine于1966年首次提出[102].正則長波方程在物理科學(xué)、工程等許多領(lǐng)域中起著非常重要的作用,如在孤立子、淺水中的非線性橫波,等離子體中的離子波和磁流體動(dòng)力波,彈性桿中的縱向色散波和非線性晶體中的聲包[17,18]中廣泛使用.正則長波方程的非線性項(xiàng)使得很難求解它的解析解,所以很多專家運(yùn)用不同的方法在求解數(shù)值解方面做出了大量的研究.在最近的幾十年中,學(xué)者們給出了許多方法討論正則長波方程的數(shù)值解,如有限元方法、Meshless分配方法、多辛算法、樣條法、擬譜法、有限差分方法等等,具體見參考文獻(xiàn)[23,27,33,38,49,54,57,71,92-94,101,107,114].由于正則長波方程中非線性項(xiàng)的存在,一些學(xué)者提出了時(shí)空二階的有限差分格式[101],但是,研究和分析正則長波方程守恒的高階緊致有限差分格式還是一個(gè)困難的研究課題.Li和Vu-Quoc在[79]中提到,“在一些領(lǐng)域,保留原始微分方程的某些不變性質(zhì)的能力是判斷數(shù)值模擬成功的標(biāo)準(zhǔn).”在實(shí)際計(jì)算中,較好的算法應(yīng)盡可能地保持原問題的某些內(nèi)在物理特性.因此,構(gòu)建能量守恒格式是確保得到精確數(shù)值解的關(guān)鍵,其保留了重要的物理特性,特別是對(duì)于長時(shí)間波傳播.在計(jì)算薛定諤方程、電磁波方程、正則長波方程[29,41,96]的數(shù)值解時(shí),提出保持離散意義下的能量恒等式的數(shù)值算法是至關(guān)重要的.本文對(duì)三類波傳播偏微分方程進(jìn)行了數(shù)值方法開發(fā)研究.基于問題的背景和方程的內(nèi)在結(jié)構(gòu),提出了一系列卓有成效的無條件穩(wěn)定的有效數(shù)值格式,理論分析其能量守恒性質(zhì)、數(shù)值穩(wěn)定性質(zhì)、收斂性和誤差估計(jì),并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究和非線性波實(shí)際傳播數(shù)值模擬研究。全文分為六章,組織結(jié)構(gòu)如下:在第一章中,我們考慮Dirichlet邊界條件的二維線性薛定諤方程.Liao和Tian等人[81,131]構(gòu)造了緊致ADI方法求解線性薛定諤方程,然而,這些二維ADI格式不能保持能量守恒.在本章中,結(jié)合分裂技巧和高階緊致算子,我們提出了一種新的守恒分裂四階緊致有限差分格式,它具有電荷守恒和能量守恒的性質(zhì).在分裂過程中,我們將方程分裂為x-或y-方向,為了得到時(shí)間二階的收斂率,我們的分裂格式為三步方法.在分裂方程的兩端應(yīng)用四階空間緊致算子,這確保得到了空間四階收斂率.在分裂的每一步,可以得到一個(gè)對(duì)稱的三對(duì)角方程組,這使得方程組很容易由Thomas方法求解.我們嚴(yán)格證明了所提格式滿足電荷和能量守恒,并且是無條件穩(wěn)定的.四階緊致差分算子僅僅利用了x-和y-方向的三個(gè)點(diǎn),這使得計(jì)算近邊界網(wǎng)格點(diǎn)時(shí),緊算子不會(huì)越過計(jì)算區(qū)域,同時(shí)保證了邊界處不會(huì)有電荷損失.我們證明了格式滿足空間四階和時(shí)間二階的最優(yōu)誤差估計(jì).格式很容易實(shí)現(xiàn)并且可以推廣到求解高維問題.數(shù)值算例表明格式滿足電荷和能量守恒,并且收斂階和理論分析結(jié)果一致.此外,我們的格式完美地模擬了瞬態(tài)高.斯分布碰撞和分離的物理運(yùn)動(dòng).在第二章中,我們考慮二維非線性薛定諤方程.非線性薛定諤方程常用來描述和預(yù)測重要非線性波和非線性效應(yīng)的傳播,比如渦旋和孤子.Spotz等人[119]提出時(shí)變問題的一種穩(wěn)態(tài)高階緊致差分方法.Caplan等人[24]描述了一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的拉普拉斯算子的兩步高階緊格式,并且將其應(yīng)用到顯式有限差分格式來模擬非線性薛定諤方程.但是,這幾種格式都不滿足物理守恒定律.因此,提出一種守恒緊致分裂步有限差分格式求解高維非線性薛定諤方程是很重要的,而且是很困難的研究任務(wù).在本章中,我們結(jié)合算子分裂技術(shù)提出一種新的守恒四階緊致分裂步的有限差分格式來分析求解二維非線性薛定諤方程.我們研究工作的特色在于所提非線性格式是守恒的、無條件穩(wěn)定的,并且通過引入緊致差分算子離散空間方向,在不增加計(jì)算消耗的情況下,使得空間收斂率得到提高.在每一個(gè)時(shí)間步,我們將方程分裂為線性部分和非線性部分.對(duì)于非線性部分,我們可以直接求解.對(duì)于線性部分,我們采用空間分裂求解.我們嚴(yán)格證明了我們求解的非線性薛定諤方程的新格式滿足電荷守恒,并且是無條件穩(wěn)定的.我們進(jìn)一步證明了我們的格式在離散的L2范數(shù)意義下,具有空間四階收斂率和時(shí)間二階收斂率.數(shù)值算例驗(yàn)證了我們的理論分析結(jié)果.并且研究不同聚焦參數(shù)β的非線性波的傳播物理現(xiàn)象.在第三章中,我們考慮無界區(qū)域上的非線性薛定諤方程.研究無界區(qū)域上的物理問題,具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義.無界區(qū)域上非線性薛定諤方程的數(shù)值方法和其理論分析是重要和困難的研究方向.對(duì)于無界區(qū)域上的線性薛定諤方程,Han和Sun[60,123,124]等人提出并分析了一維線性問題的有限差分方法.由拉普拉斯方法得到了有限計(jì)算區(qū)域的人工邊界條件,其中Sun[123,124]等證明了所提格式是無條件穩(wěn)定的,并且分析了無界區(qū)域一維線性薛定諤方程差分格式的誤差估計(jì).對(duì)于無界區(qū)域上的非線性薛定諤方程,Antoine和Zheng[7,153,156]等提出了相應(yīng)的人工邊界條件,然而文獻(xiàn)[7,9,21,34,39,141,151-153,156]并沒有給出無界域上非線性薛定諤方程數(shù)值方法的收斂性分析.在本章中,我們構(gòu)造了無界域上的非線性薛定諤方程有限差分方法的人工邊界條件,并對(duì)所提耦合有限差分格式進(jìn)行了理論性分析.首先我們將無窮區(qū)域問題分為三個(gè)子空間問題,即區(qū)間x∈(xL,xR)上的內(nèi)部問題和左右外部問題.然后通過拉普拉斯變換,分析兩個(gè)外部問題得到兩個(gè)解析人工邊界條件.因此,通過引入這兩個(gè)人工邊界,將原始的無界區(qū)域的非線性薛定諤方程截?cái)酁橛薪鐓^(qū)域的初邊值問題.接下來引入輔助變量,我們給出了具有人工邊界條件的非線性薛定諤方程的耦合有限差分格式.我們引入一外推算子處理非線性項(xiàng).我們嚴(yán)格證明了所提的具有離散人工邊界條件求解非線性薛定諤方程的耦合有限差分格式是無條件穩(wěn)定的,并且證明了格式的收斂性.數(shù)值算例表明在人工邊界處沒有數(shù)值反射.我們研究了不連續(xù)的勢(shì)函數(shù)對(duì)波傳播的影響.另外,我們?cè)诒菊碌淖詈竽M了孤子的碰撞,盡管強(qiáng)烈的非線性相互作用,所有的孤子都可以恢復(fù)它們的形狀,然后以特定的速度移動(dòng).在第四章中,我們研究磁化等離子體中電磁波的傳播.在存在外部磁場的情況下,等離子體表現(xiàn)出各向異性行為.當(dāng)電磁波在磁化等離子中傳播時(shí),等離子體不僅衰減入射波的能量,而且也改變傳播方向.因此,磁化等離子體有著廣泛的應(yīng)用,比如衛(wèi)星通信,空間氣象災(zāi)害,遠(yuǎn)感,地球物理和散射體的雷達(dá)散射界面控制[109,138,139].對(duì)于電磁波在等離子體中的傳播模型,[69,85,88,116,139]中提出一些顯式有限差分格式,然而它們是條件穩(wěn)定的,因?yàn)闀r(shí)間步長受CFL條件限制.[31,136]提出一步蛙跳交替方向隱式FDTD方法,[65]提出一種具有局部無條件穩(wěn)定性的三步一維FDTD方法.雖然這些方法得到了無條件穩(wěn)定性,但是并不滿足能量守恒定律.本章中,我們著重研究在各向異性等離子體中能量守恒的FDTD方法.由于電磁波和磁化等離子體的相互作用,以及等離子體頻率和回旋頻率是空間變化性,這使得構(gòu)造各向異性的磁化等離子體中電磁波傳播的能量守恒的數(shù)值格式是很困難的.我們提出了兩種守恒有限差分方法,即FDTD-EC方法和FDTD-I方法.FDTD-I格式僅對(duì)常數(shù)的等離子體頻率和回旋頻率滿足能量守恒定律.我們進(jìn)一步提出改進(jìn)FDTD-I格式以獲得變化的等離子體頻率和回旋頻率的磁化等離子體中電磁波傳播的能量守恒格式FDTD-EC.我們理論地證明了FDTD-EC格式滿足變頻率情況下的兩種離散能量守恒關(guān)系,因此得到了無條件穩(wěn)定性.同時(shí)我們也證明了這兩個(gè)格式的數(shù)值解具有時(shí)間和空間二階的收斂率.數(shù)值算例的結(jié)果和我們的理論分析一致.我們進(jìn)一步利用所提格式模擬電磁波在磁化等離子體中的傳播.我們的結(jié)果表明,磁化等離子體可以有效地吸收電磁波并改變傳播方向.吸收和各向異性的特征主要取決于電磁波的頻率,等離子體頻率(由電子密度決定)和回旋頻率(由外部磁場決定)等幾個(gè)參數(shù).這些發(fā)現(xiàn)可以幫助理解等離子體頻率和回旋頻率對(duì)等離子體中電磁波傳播的影響,并為特定的應(yīng)用設(shè)計(jì)最佳的等離子體材料.在第五章中,我們開發(fā)一種高效的數(shù)值方法模擬磁化等離子體中電磁波的傳播.一般情況下,傳統(tǒng)的FDTD方法受CFL條件的限制,是條件穩(wěn)定的.對(duì)于經(jīng)典的麥克斯韋方程組,為了克服CFL條件的限制,許多學(xué)者提出無條件穩(wěn)定的分裂時(shí)域有限差分方法.但是對(duì)于磁化等離子體模型中耦合電流方程的麥克斯韋方程組,無條件穩(wěn)定的算法還是很少.Wang[64,136]等提出了各向異性等離子體中的交替方向隱式(ADI)時(shí)域有限差分方法.Hosseini[65,66]等人提出了一種無條件穩(wěn)定性的局部一維時(shí)域有限差分方法.雖然上述的分裂方法對(duì)于二維問題是無條件穩(wěn)定的,但是打破了磁化等離子體中的能量守恒性質(zhì).本章中,我們提出耦合電流方程的麥克斯韋方程組的能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法(EC-S-FDTD).對(duì)于變化的等離子體頻率和回旋頻率,構(gòu)造磁化等離子體的能量守恒格式是困難的.并且,分裂格步可能會(huì)進(jìn)一步破壞守恒性質(zhì).在研究中,為了得到時(shí)間二階收斂率,我們所提的格式每個(gè)時(shí)間層包含三步.第一步和第三步均包括五個(gè)方程,并且這五個(gè)方程可分別化為對(duì)稱的三對(duì)角方程組,然后根據(jù)Thomas方法有效地求解.第二步包含四個(gè)方程.為了得到能量守恒性,我們將電流方程中的兩個(gè)張量積項(xiàng)均放在第二步,電流密度Jx和Jy聯(lián)合很容易求解.我們理論性地證明了所提EC-S-FDTD格式滿足離散范數(shù)下的兩種能量守恒關(guān)系,并且得出了無條件穩(wěn)定性.利用能量的方法,我們證明了分裂格式的收斂性為時(shí)間二階和空間二階.數(shù)值算例驗(yàn)證了我們的理論分析.并且模擬了電磁波在磁化等離子體中的傳播.最后,在第六章中,我們研究了非線性正則長波方程.正則長波方程中的非線性項(xiàng),使得很難找到正則長波方程的解析解.因此,人們對(duì)具有初邊值條件的正則長波方程的數(shù)值解進(jìn)行了各種研究.Zheng[155]等人提出了一種使用Richardson外推法的有限差分方法.他們利用五點(diǎn)得到了四階收斂性.Akbari[5]提出了一種求解廣義長波方程的緊致有限差分方法.然而這些方法不符合能量守恒定律.本章中提出了兩種守恒的四階緊致有限差分方法來分析正則長波方程的數(shù)值解,它們分別是兩層非線性隱的和三層線性隱的,前者的非線性格式使得計(jì)算相對(duì)耗時(shí),后者的線性化格式使得計(jì)算節(jié)約時(shí)間.我們提出兩個(gè)四階緊致有限差分算子Lx和Mx,它們沿著x方向僅僅利用三個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)得到了空間四階的收斂率.非線性項(xiàng)的存在和緊算子的利用增加了證明守恒性和收斂性的難度.我們證明了所提格式的數(shù)值解滿足質(zhì)量守恒和能量守恒,并且解是存在唯一的.利用能量的方法,我們證明了在沒有網(wǎng)格比限制的條件下格式是收斂的,無條件穩(wěn)定的.‖ · ‖和‖· ‖L∞范數(shù)下的最優(yōu)誤差滿足空間四階和時(shí)間二階的收斂率.數(shù)值算例和我們的理論分析結(jié)果一致.最后,我們模擬了兩孤波和三孤波的碰撞和分離過程,另外還模擬了在Maxwellian初始條件下,對(duì)不同的方程參數(shù),波的傳播變化情況.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.82
【圖文】：

逡逑圖１．１和圖１．２分別展示了（邋＝邋０．１和ｉ邋＝邋１時(shí)刻我們的守恒分裂高階緊格式的逡逑精確解和數(shù)值解．我們可以看到瞬時(shí)高斯波開始以點(diǎn)（１．１）為中心，然后從〖＝0逡逑到＾邋＝邋；１時(shí)刻，它沿著ｙ邋＝邋：ｒ的負(fù)方向移動(dòng)，并且不斷膨脹．另外．由圖１．１和圖１．２看逡逑出．精確解和數(shù)值解模的三維立體圖和輪廓圖完全是一致的．表１．４和表１．５分別逡逑給出了空間四階和時(shí)間二階的收斂率．從表１．６可以清楚地看到，在不同的時(shí)刻，逡逑電荷和能量都是守恒的．逡逑ｅｘａｃｔ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．ｈ＝０．２．ｔ＝０．０１邋，ａｔ邋ｔ＝０．１邐ｎｕｍｅｎｃａｌ邋ｓｏｌｕｔｉｃｘｉｓ．ｈ＝０．２．ｔ＝０．０１，ａｔ邋ｔ＝０．１逡逑１邋卜逡逑０８＇邐Ｉ邐0．８、邐｜逡逑３邋０．６、邐：邋－邐ｄ邋０．６－逡逑0邐ｏ逡逑１邋０－４－邐羞0．４、逡逑２０°－逡逑－１０邋＇邋．邋－＜１０邋－１０逡逑ｙ邐－２０邋－２０邐ｘ邐ｙ邐－２０邋－２０邐ｘ逡逑ｃｏｎｔｏｕｒｓ邋ｏｆ邋ｅｘａｃｔ邋ｓｄｕｔｉｏｎｓ，ｈ＝０．２，ｔ＝０．０１．ａｔ邋ｔ＝０．１邐ｃｏｎｔｏｕｒｓ邋ｏｆ邋ｎｕｍｅｒｉｃａｌ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｈ＝０．２．ｔ＝０．０１，ａｔ邋ｔ＝０．１逡逑１０邋■邐１０邋■逡逑５邐５逡逑＞邋ｏ邋■逡逑－５邐－５逡逑－１０邋■邐－１０邋■邋？逡逑－１０邐－５邐０邐５邐１０邐－１０邐－５邐０邐５邐１０逡逑Ｘ邐Ｘ逡逑圖１．１：當(dāng)ｆ邋＝邋０．１時(shí)

區(qū)域?yàn)椋邸保�，１５］邋ｘ邋［０．１］，其中▲＝歷＝１，Ｃ７ｉ邋＝邋４，蠢ｉ邋＝邋１．５，邋Ａ２邋＝氏＝—１，Ｃ２邋＝逡逑２，邋ｋ２邋＝邋３．逡逑圖１．３展示了我們守恒分裂高階緊格式的精確解和數(shù)值解．我們可以看到Ａ和５兩逡逑？邋１６邋■逡逑

圖２．１：當(dāng)ｉ邋＝邋２時(shí)，算例２．４．１數(shù)值解的三維立體圖和輪廓圖，其中心＝＾邋＝逡逑

【參考文獻(xiàn)】

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1 郭斌;王曉鋼;張宇;;FDTD Numerical Simulation of Absorption of Microwaves in an Unmagnetized Atmosphere Plasma[J];Plasma Science and Technology;2006年05期

本文編號(hào)：2795888