【摘要】：本文采用有限差分方法,正交樣條配置方法,時間分裂步方法以及譜方法,具體研究了Schr?dinger-Boussinesq(SBq)方程,Klein-Gordon-Schr?dinger(KGS)方程,耦合Gross-Pitaevskii(CGP)方程以及修正Gross-Pitaevskii(MGP)方程的數值解法.由于SBq方程為四階非線性耦合方程組,為了構建SBq方程的三點緊差分格式,我們采用降階法將兩分量耦合的四階偏微分方程(PDE)等價轉化為三分量耦合的二階PDE.基于降階方程組構建了兩個守恒的非線性緊差分格式,利用守恒性得到數值解的先驗估計,然后通過離散能量方法證明了數值解的存在性,收斂性以及穩(wěn)定性.由于非線性緊差分格式需要進行迭代運算,十分耗機時.為此構建了SBq方程的線性緊差分格式,其優(yōu)勢在于無需迭代運算,提高了計算效率,但問題是線性格式不能嚴格保證離散能量的守恒性.為此定義了三項遞推序列,基于該序列定義了新形式的離散能量表達式,并證明了線性格式的守恒性,最后采用cut-off截斷函數法證明了收斂性.運用正交樣條配置(OSC)方法構建了SBq方程的兩個守恒OSC格式.對于非線性OSC格式,基于離散能量守恒律得到了數值解有界性估計,由此證明了數值解的存在性,收斂性以及穩(wěn)定性.對于線性OSC格式,通過新定義的三項遞推序列,證明了線性OSC格式的離散能量守恒性.由于無法利用離散能量表達式對數值解進行先驗估計,為此采用cut-off截斷函數法證明了線性OSC格式的收斂性.在前面的工作中,分別運用有限差分方法以及OSC方法研究了SBq方程的數值解問題,進一步我們運用Fourier擬譜方法繼續(xù)研究該方程.構建了SBq方程的時間分裂指數波積分Fourier擬譜(TS-EWI-FP)方法,對于Schr?dinger-like方程采用時間分裂Fourier擬譜方法,而對于Boussinesq-like方程則采用指數波積分Fourier擬譜方法進行求解.TS-EWI-FP方法為全顯格式且可利用快速Fourier變換有效求解.由于TS-EWI-FP方法缺乏嚴密的理論分析,為此我們研究了KGS方程的指數波積分Fourier擬譜(EWI-FP)方法.EWI-FP方法為全顯格式,在時間方向可達到二階精度,在空間方向為譜精度.在理論上,我們利用數學歸納法證明了EWI-FP方程的H~1模誤差估計,而對于高維KGS方程,在適當的正則性條件下可證明EWI-FP方法的H~2模誤差估計.對于CGP方程,我們考慮了帶角動量旋轉項CGP方程的顯式差分格式.事實上,CGP方程的顯式差分格式是很容易構造的,所以該工作的意義在于分析顯式差分格式的最大模誤差估計并確定CFL條件.首先利用數學歸納法證明了顯差分格式的_2L模誤差估計,然后綜合利用離散能量方法,時間與空間變量變換技巧以及降階法證明了顯差分格式的L_?模誤差估計.在文章最后討論了MGP方程的時間分裂步差分方法,該方法不需要求解大規(guī)模的差分方程組,可以借助快速正弦變換有效求解.另外該方法不會隨著差分格式空間精度的提高而增加計算量,因此我們可通過構建高精度差分格式以期望獲得與譜方法相近的精度,具體討論了空間四階與六階精度的時間分裂差分方法.
【學位授予單位】：南京航空航天大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O241.7
【圖文】：

表 2.3 格式 B 求解例 2.22( t 10, h)的誤差與收斂階.h , uE h ,/2, /4uuE hE h , vE h ,/2, /4vvE hE h 0.4 6.2677e-3 5.0790e-30.2 3.9363e-4 15.923 3.1747e-4 15.9980.1 2.4617e-5 15.990 1.9835e-5 16.0060.05 1.5391e-6 15.994 1.2396e-6 16.0010.025 9.8212e-8 15.671 7.7481e-8 15.999表 2.4 格式 B2( t 10, h)求解例 2.2 的擾動誤差. =0.01 =0.001 =0.0001h 2 L h , 2 L h , 2 L h , 0.4 3.2112e-2 1.2311e-2 1.1418e-20.2 2.7916e-2 3.0018e-3 8.2116e-40.1 2.7781e-2 2.7643e-3 2.8902e-40.05 2.7774e-2 2.7542e-3 2.7580e-40.025 2.7772e-2 2.7536e-3 2.7517e-4

若干非線性發(fā)展方程組的數值解法研究了數值格式的穩(wěn)定性. 另外, 從表2.2與表3.4的每一列的趨勢可以看出擾動誤差隨空間步長的減小而趨于一個固定的值, 這也從另一個角度驗證了格式的收斂性.

若干非線性發(fā)展方程組的數值解法研究了數值格式的穩(wěn)定性. 另外, 從表2.2與表3.4的每一列的趨勢可以看出擾動誤差隨空間步長的減小而趨于一個固定的值, 這也從另一個角度驗證了格式的收斂性.圖 2.2 格式 A( h 0.1)求解例 2.1 在 t [0， 10 ]的數值解.

【參考文獻】

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1 柏琰;張魯明;;對稱正則長波方程的一個新的守恒差分格式[J];應用數學;2009年01期

2 王廷春;張魯明;陳芳啟;聶濤;劉學義;;求解Klein-Gordon-Schrdinger方程組的一個新型守恒差分算法的收斂性分析[J];高校應用數學學報A輯;2008年01期

3 王廷春;張魯明;陳芳啟;;對稱正則長波方程的擬緊致守恒差分格式[J];工程數學學報;2008年01期

4 聶濤;王廷春;張魯明;;對稱正則長波方程的守恒差分算法[J];高等學校計算數學學報;2007年03期

5 許秋濱;常謙順;;廣義非線性Sine-Gordon方程的兩個隱式差分格式[J];應用數學學報;2007年02期

6 王廷春;張魯明;;對稱正則長波方程的擬緊致守恒差分逼近[J];數學物理學報;2006年S1期

7 王廷春;張魯明;;求解廣義正則長波方程的守恒差分格式[J];應用數學學報;2006年06期

8 夏靜娜,韓淑霞,王明亮;Klein-Gordon-Schrdinger方程組的精確孤立波解[J];應用數學和力學;2002年01期

9 張魯明,常謙順;復Schrdinger場和實Klein-Gordon場相互作用下一類方程組守恒差分格式的收斂性和穩(wěn)定性[J];高等學校計算數學學報;2000年04期

10 張魯明,常謙順;正則長波方程的一個新的差分方法[J];數值計算與計算機應用;2000年04期

本文編號：2795796