【摘要】：用微分方程建立并研究傳染病模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中的一個重要研究課題.本文利用微分方程穩(wěn)定性理論和分支理論研究了四類傳染病模型,著重分析了模型的平衡點的存在性、穩(wěn)定性,以及各類可能發(fā)生的分支情況,例如后向分支、Hopf分支和Bogdanov-Takens分支.全文由六章構(gòu)成:第一章簡要介紹了傳染病模型的發(fā)展歷史及預(yù)備知識.第二章研究了一類帶有氣候變化發(fā)生率函數(shù)的SIRS模型.通過分析,發(fā)現(xiàn)當基本再生數(shù)R0≤1時,系統(tǒng)僅有一個無病平衡點E0,且其全局漸近穩(wěn)定,疾病滅亡.若R01,系統(tǒng)有兩個平衡點.一個無病平衡點E0和一個地方病平衡點E且v0或P1q時E*全局漸近穩(wěn)定,疾病持續(xù).當v=0時,通過計算第一 Lyapunov系數(shù)值,判定了系統(tǒng)的Hopf分支形式.數(shù)值模擬也表明了氣候?qū)膊〉挠绊懸蜃应嗽酱?氣候條件越不穩(wěn)定,感染者將會越多.如果λ趨于無窮,此時整個宿主對惡劣的氣候環(huán)境逐漸適應(yīng),I*也趨于一個穩(wěn)定的值.第三章研究了一類帶有飽和發(fā)生率與含有半飽和常數(shù)的飽和治療函數(shù)的SIS傳染病模型.研究表明當某些參數(shù)滿足特定區(qū)域的值時,系統(tǒng)會產(chǎn)生一個后向分支.此時冗= 1不再是疾病是否消除的閡值.此外,給出無病平衡點E0和地方病平衡點E1,E2穩(wěn)定的充要條件.通過計算第一 Lyapunov系數(shù)值,判定了系統(tǒng)的Hopf分支形式.還證明了在某些條件下,系統(tǒng)會產(chǎn)生Bogdanov-Takens分支.最后,在滿足Bogdanov-Takens分支發(fā)生的前提下,通過Bogdanov-Takens規(guī)范型,分別給出三條分支曲線,即Hopf分支曲線,鞍結(jié)點分支曲線和同宿分支曲線.第四章研究了一類帶有雙線性發(fā)生率函數(shù)與線性飽和治療函數(shù)的SIR傳染病模型,推廣了一類具有雙線性發(fā)生率函數(shù)和飽和治療函數(shù)的SIR傳染病模型,研究了其地方性平衡點的存在性,穩(wěn)定性及后向分支現(xiàn)象.研究表明:當基本再生數(shù)小于1時,若飽和治療率較小,則系統(tǒng)發(fā)生后向分支.同時證明了系統(tǒng)至多存在4個平衡點.第五章研究了一類帶有飽和發(fā)生率與選擇性治療函數(shù)的SIR傳染病模型,治療函數(shù)中的p和q代表疾病不同階段對應(yīng)著的不同的治療率.當P≤q時,系統(tǒng)唯一的地方病平衡點E2全局漸近穩(wěn)定.且當R01時,無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.當pq時,若R0R0＜1,系統(tǒng)存在多個平衡點,這也就意味著后向分支的發(fā)生.證明了系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分支,同時分析了系統(tǒng)的Hopf分支形式.還證明了在某些條件下,系統(tǒng)會產(chǎn)生Bogdanov-Takens分支.最后也給出三條分支曲線,即Hopf分支曲線,鞍結(jié)點分支曲線和同宿分支曲線.第六章是總結(jié)以及對未來工作的展望.
【學(xué)位授予單位】：浙江理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175
【圖文】：

圖邋２．２邋當邋／４邋＝邋ｌ，ａ邋＝邋４，０邋＝邋０．２邋，邋ｄ邋＝邋０．２邋，邋Ａ邋＝邋０．０１，＂邋＝邋０．１５，０邋二邋０．３邋時疾病持續(xù)．逡逑注意到Ａ是刻畫氣候?qū)膊〉挠绊懸蜃�，Ａ越大，氣候條件越不穩(wěn)定，感染者將會越多．逡逑盡管／？0不依賴于Ａ，但圖２．３的數(shù)值分析表明當?shù)胤讲〕掷m(xù)時，隨著Ａ的不斷增加，穩(wěn)定逡逑的地方病感染者數(shù)目／＊也在不斷增加．如果Ａ趨于無窮，此時整個宿主對惡劣的氣候環(huán)境逡逑逐漸適應(yīng)，／＊也趨于一個穩(wěn)定的值．式（２．４）中／＊的表達式也表明當Ａ趨于無窮時其趨于逡逑－個穩(wěn)定的值．逡逑４逡逑。：Ｉ邐、邐＊１邋邐｜邐ｊ邐｜邐｜邐Ｉ邐｜邐｜邐｜邐｜逡逑０邐６邐１０邐２０邐＾邐３Ｇ邐４０邐４５邐￡０逡逑Ｉ逡逑圖２．３邋對參數(shù)Ａ的依賴性．逡逑２．５邋小結(jié)逡逑近些年全球氣候變暖，氣候條件越來越不規(guī)律，從而導(dǎo)致了許多傳染病的發(fā)病率逐漸增逡逑力口，危害人類的健康．例如瘧疾，其分布與傳播與溫度、降雨量、空氣濕度等環(huán)境氣候Ｗ素逡逑２１逡逑

使得Ａ取值范圍為［０．００４６５，０．０３３１５］，相對應(yīng)的佝變化范圍為［０．２１０４１，１．５］，顯然逡逑在瓜＝１處產(chǎn)生了一個后向分支，且此ＦｆＭ分支導(dǎo)致了瓦＜邋／？。＜邋１時多個地方病平逡逑衡點共存的情況．圖３．１表示的是Ａ邋＝邋０．０１時感染者數(shù)量與基本再生數(shù)的關(guān)系圖．此T逡逑斤0邋＝邋０．４５２５邋＜邋１，瓦＝０．３５２４邋＜邐，故定理３．２的條件成立，且后向分支明顯．逡逑１逡逑＼逡逑0邐ｒ——邐．逡逑０．ｉ邐１邐ｌ．Ｓ逡逑Ｒｏ逡逑圖邋３．１邋當邋／ｌ＝邋１０，ｃｖ邋＝邋２，ｗ＝邋ｌ，ｄ邋＝邋０．１，ｅ邋＝邋０．１，＂邋＝邋０．０１，ｉｔ邋＝邋０．１，Ａ邋＝邋０．０１邋時的邋／？0－／逡逑圖．逡逑接下來驗證無病平衡點與地方性平衡點Ｅ２的穩(wěn)定性．逡逑例邋３．２邋設(shè)邋／ｌ邋＝邋２，ａ邋＝邋２，ｗ邋＝邋ｌ，ｄ邋＝邋０．１，ｅ邋＝邋０．０１，／ｘ邋＝邋０．０１，／：邋＝邋０．１，Ａ邋＝邋０．０１．此時逡逑／？．0邋＝邋０．０（Ｊ０５邋＜邋１，瓦＝０．３0４２邋＞瓜，故定理３．１０（２）的條件成立，此時由圖３．２可看出唯一逡逑的平衡點＆是全局穩(wěn)定的．逡逑例３．３采用圖３．１的參數(shù)，此時瓦邋＜邋私＜邋１，故說，五２均存在．私為一個鞍點，五２逡逑此時局部漸近穩(wěn)定．從圖３．３可以看出，鞍點私的穩(wěn)定流形將／？２＋分成了兩塊區(qū)域，在上逡逑半?yún)^(qū)域曲線收斂于地方病平衡點￡２，此時疾病持續(xù)，不會滅亡．在下半?yún)^(qū)域１１１１線收斂于無逡逑病平衡點

圖４．２不穩(wěn)定鞍點Ｚ？３與穩(wěn)定平衡點五４邋．逡逑．

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本文編號：2789054