【摘要】：分形幾何學(xué)是20世紀(jì)70年代誕生的一門(mén)數(shù)學(xué)分支,它是繼非歐幾何創(chuàng)立之后幾何學(xué)史上的又一次重大革命。作為大自然的幾何學(xué),它在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的應(yīng)用。因此,研究分形幾何的早期歷史具有非常重要的意義。本文在研讀原始文獻(xiàn)及其相關(guān)研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,通過(guò)歷史分析和文獻(xiàn)考證的方法,以“為什么數(shù)學(xué)”為指導(dǎo)思想,全面系統(tǒng)地考察了分形幾何早期歷史的內(nèi)容和思想,深入剖析了分形幾何創(chuàng)立的原因。取得的研究結(jié)果如下:1.全面考察了分析嚴(yán)格化的背景下,魏爾斯特拉斯函數(shù)、康托爾集和科赫曲線等早期經(jīng)典分形集產(chǎn)生的背景、原因、過(guò)程和影響。魏爾斯特拉斯為了搞清函數(shù)的連續(xù)性和可微性之間的關(guān)系,構(gòu)造了一條連續(xù)但處處不可微的病態(tài)函數(shù)�？低袪栐趩挝粎^(qū)間上構(gòu)造了一個(gè)完備但處處不稠密的病態(tài)點(diǎn)集�？坪者\(yùn)用遞歸法的思想,構(gòu)造了一條可以幾何直觀表示的連續(xù)但處處不可切的病態(tài)曲線。這些病態(tài)的函數(shù)、曲線和集合的出現(xiàn)是推動(dòng)分形幾何創(chuàng)立的內(nèi)因。2.系統(tǒng)梳理了分?jǐn)?shù)維數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程。為了準(zhǔn)確測(cè)量出康托爾集的大小,康托爾、波萊爾和勒貝格等數(shù)學(xué)家相繼提出了解決問(wèn)題的辦法和思路,但得到的結(jié)果不令人滿意。直到卡拉泰奧多里在q維空間中定義了p維測(cè)度集,才使問(wèn)題取得了一些進(jìn)展。豪斯多夫在卡拉泰奧多里工作的基礎(chǔ)上,將維數(shù)的取值范圍由整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù),解決了康托爾集的測(cè)量問(wèn)題。貝西科維奇完善了豪斯多夫關(guān)于分?jǐn)?shù)維數(shù)的定義,給出了分?jǐn)?shù)維數(shù)的確切概念。3.詳細(xì)論述了貝西科維奇、布利岡和柯?tīng)柲曷宸虻葦?shù)學(xué)家對(duì)分?jǐn)?shù)維數(shù)理論的貢獻(xiàn)。貝西科維奇研究了分?jǐn)?shù)維數(shù)集的密度性質(zhì)和微積分,在實(shí)數(shù)理論中探討了分?jǐn)?shù)維數(shù)集的具體應(yīng)用。盒維數(shù)是一種重要的分?jǐn)?shù)維數(shù),它的最初模型由布利岡建立,龐特里亞金和施尼勒爾曼定義了具有數(shù)學(xué)表達(dá)式的盒維數(shù),但缺乏嚴(yán)格性;柯?tīng)柲曷宸蚝推趸袈宸蚪o出了嚴(yán)格的盒維數(shù)定義;法爾科內(nèi)則定義了現(xiàn)代意義下的盒維數(shù)。4.詳盡闡述了萊維、莫蘭和芒德勃羅等數(shù)學(xué)家對(duì)自相似理論的貢獻(xiàn)。自相似思想最早可追溯至古希臘時(shí)代,德謨克利特、亞里士多德以及我國(guó)古代的數(shù)學(xué)、哲學(xué)和醫(yī)學(xué)著作中也有關(guān)于自相似思想的論述,但尚未形成嚴(yán)格的理論體系。萊維引入了參數(shù)和階數(shù)等一些基本數(shù)學(xué)概念,他是第一個(gè)對(duì)自相似性進(jìn)行系統(tǒng)研究的數(shù)學(xué)家。莫蘭將集合論引入自相似理論的研究,定義了自相似集的概念,形成了自相似理論的雛形。芒德波羅將統(tǒng)計(jì)性融入自相似理論,描繪了統(tǒng)計(jì)自相似性,解決了長(zhǎng)期困擾大家的海岸線長(zhǎng)度問(wèn)題。5.細(xì)致探究了分形幾何的創(chuàng)立過(guò)程,深入剖析了分形幾何的創(chuàng)立原因。通過(guò)論文“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)”和著作《大自然的分形幾何》,細(xì)致探究了分形幾何的創(chuàng)立過(guò)程。在原始文獻(xiàn)和相關(guān)研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,指出病態(tài)函數(shù)、曲線和集合的激勵(lì),數(shù)學(xué)理論發(fā)展的推動(dòng),實(shí)際問(wèn)題的鞭策,以及創(chuàng)立者自身的優(yōu)勢(shì)是分形幾何創(chuàng)立的主要原因。
【學(xué)位授予單位】：西北大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O189
【圖文】：

圖 1.1 論文基本框架論文除結(jié)語(yǔ)外共由六個(gè)章節(jié)構(gòu)成。下面將根據(jù)內(nèi)容安排，對(duì)各章節(jié)的基本情況進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明：第一章，緒論。緒論由選題背景與意義、文獻(xiàn)綜述、擬解決的問(wèn)題，以及論文的框架結(jié)構(gòu)等部分組成。這一章主要交代論文的研究背景和意義、前人的研究工作、論文擬解決的問(wèn)題和論文基本框架結(jié)構(gòu)等。第二章，幾類經(jīng)典的分形集。病態(tài)函數(shù)、曲線和集合是分形幾何的重要素材和思想源泉，它們?cè)诜中螏缀蔚脑缙跉v史中具有極其重要的地位。由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論難以合理解釋這些病態(tài)函數(shù)、曲線和集合所具有的性質(zhì)和特征，以及它們所導(dǎo)致的問(wèn)題，因而誘發(fā)了創(chuàng)造新理論的動(dòng)力。這一章將以分析嚴(yán)格化為背景，詳細(xì)研究了魏爾斯特拉斯函數(shù)、康托爾集、科赫曲線和皮亞諾曲線等經(jīng)典分形集產(chǎn)生的原因、背景、過(guò)程和影響，特別在分形幾何創(chuàng)立過(guò)程中的影響。第三章，分?jǐn)?shù)維數(shù)概念的產(chǎn)生。分?jǐn)?shù)維數(shù)的出現(xiàn)是維數(shù)理論發(fā)展史具有里程

微是可能的”①。1861 年，魏爾斯特拉斯在柏林大學(xué)的課堂教學(xué)中已經(jīng)把這個(gè)函數(shù)的思想傳授給了學(xué)生。不過(guò)，正式的論文則是 1872 年 7 月 18 日他在柏林科學(xué)院宣讀的那篇，但是由于擔(dān)心一些不必要的麻煩，他并沒(méi)有立即發(fā)表，而是在兩年之后用信件把論文寄給了好朋友雷蒙德(P.B.Reymond,1831—1889)，由后者在 1875 年將論文發(fā)表②。這個(gè)函數(shù)一經(jīng)發(fā)表，就在他所處的時(shí)代引起了極大的轟動(dòng)。魏爾斯特拉斯函數(shù)構(gòu)造如下：“設(shè) x是一個(gè)實(shí)變量，對(duì)于函數(shù)0( ) cos( )n nnf x b a x ，其中a是一個(gè)正奇數(shù)，b 是一個(gè)比1小的正數(shù)，如果ab的乘積大于某一個(gè)確定的極限，則函數(shù) f ( x)連續(xù)但處處不可微”③。

圖 2.2 史密斯對(duì)康托爾集的描述①雖然，史密斯所給出的這個(gè)集合已經(jīng)是康托爾集的一種表現(xiàn)形式，但由于這個(gè)集合的主要目的是為了解決黎曼積分中的在特殊條件上的存在性問(wèn)題，而沒(méi)有融進(jìn)當(dāng)時(shí)實(shí)數(shù)體系嚴(yán)格化的主流研究。再加上，這個(gè)集合研究對(duì)象似乎只僅僅針對(duì)斷點(diǎn)上的可數(shù)集，而并非實(shí)際上的完備集，所以未能引起數(shù)學(xué)家們的注意。現(xiàn)在被大家所熟悉的康托爾集則由康托爾在 1883 年給出。眾所周知，完備性和稠密性是實(shí)數(shù)理論中的重要性質(zhì)。在分析嚴(yán)格化進(jìn)程初期，一般認(rèn)為完備性必然導(dǎo)致稠密性，完備性是稠密性的充分條件。然而實(shí)則不然，為了將兩者徹底區(qū)分，康托爾在區(qū)間[0,1]上引入一個(gè)完備但處處不稠密的點(diǎn)集，如他在論文“關(guān)于完備點(diǎn)集上的冪”②( De la puissance des ensembles parfaits depoints)中定義道：

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2788898