【摘要】：偏微分方程中解的奇異性來源于物理學和幾何學中的很多實際問題。因此對方程解的奇異性研究,受到國內外學者的高度重視。目前,對解的奇異性研究大部分都在經(jīng)典的Lebesgue和Sobolev空間理論下進行的,但是,近年來,出現(xiàn)了很多具有非標準增長的問題,例如：電流變流體、非彈性力學、圖像恢復等模型。對這類問題進行研究時,具有常指數(shù)的Lebesgue和Sobolev空間理論不再適用。因此,在變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間理論下研究方程解的奇異性成為必要。本文在變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間理論框架下研究了幾類橢圓方程解的可去奇性問題。首先,對一類具變指數(shù)增長橢圓方程解的孤立奇點進行研究。采用新的迭代技巧,得到方程解在孤立奇點附近的性態(tài)；根據(jù)已得到解的增長性態(tài)構造合適的對數(shù)型檢驗函數(shù),得到方程解的L∞。估計；以此為基礎給出這類方程解的孤立奇點可去的充分性條件,證明在某種假設條件下解的孤立奇點是可去的。其次,在變指數(shù)空間理論下對一類吸收項具有退化因子的散度型橢圓方程解的零奇點可去性問題進行研究。通過構造合適的檢驗函數(shù)并利用Moser迭代的方法,得到方程解在零奇點的鄰域內的性態(tài)。在此基礎上,采用合適的對數(shù)型檢驗函數(shù)得到方程解在零奇點的局部有界性,并以此證明在某些特定的假設條件下方程解的孤立奇點零是可去的。然后,對一類具變指數(shù)增長橢圓方程解的零容度奇異集進行研究。采用在緊子集中每一個點的鄰域內研究解的性質的方法,通過構造合適的檢驗函數(shù)得到解的Caccioppoli估計,在此基礎上,證明方程解在奇異集鄰域內的有界性,進而,得到方程解的零容度奇異集可去性條件。最后,對更一般的具變指數(shù)增長橢圓方程Holder連續(xù)解的緊奇異集的可去性進行研究,借助障礙問題和非負Radon測度的理論給出緊奇異集可去的充分性條件。利用單調算子理論得到有關此類方程障礙問題解的存在性。給出障礙問題解的Harnack估計,并以此證明當障礙連續(xù)時,解也是連續(xù)的。在此基礎上,利用Radon測度的性質,得到當緊集的某Hausdorff測度為零時,方程Holder連續(xù)解的緊奇異集是可去的。
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.2

【共引文獻】

相關博士學位論文 前3條

1 徐博馳;幾類隨機指數(shù)函數(shù)空間的研究[D];哈爾濱工業(yè)大學;2014年

2 楊苗苗;Young測度在具變指數(shù)增長問題中的幾個應用[D];哈爾濱工業(yè)大學;2014年

3 向明啟;具有變指數(shù)增長的非線性發(fā)展方程與變分不等式[D];哈爾濱工業(yè)大學;2014年

相關碩士學位論文 前1條

1 趙娜;擬線性橢W型方程解的若干性質[D];杭州電子科技大學;2011年

本文編號：2786138