【摘要】：圖是一種應用廣泛的數(shù)學模型,能反映離散對象之間的二元關系。超圖作為圖的推廣,能夠更好地反映離散對象之間復雜的多元關系。學者們最初利用矩陣研究超圖,由于超圖與矩陣不是一一對應的,所以矩陣不能完全反映超圖的信息。2005年,祁力群和林立行分別獨立地從不同的角度提出了張量特征值的概念,祁力群和張恭慶等對張量譜的性質(zhì)做了研究,這些工作為超圖譜的研究奠定了基礎。本文用超圖對應的張量研究超圖的性質(zhì)。結(jié)合圖譜中的一些經(jīng)典結(jié)果以及張量譜的性質(zhì)研究超圖的特征值和特征向量,主要包括超圖對應的張量譜半徑的界以及拉普拉斯張量和無符號拉普拉斯張量的特征向量相應分量的性質(zhì)。具體研究了以下內(nèi)容,對一致線性連通超圖,給出了無符號拉普拉斯張量譜半徑的上界。對一致連通超圖,通過度序列給出了鄰接張量和無符號拉普拉斯張量譜半徑的界,并刻畫了當譜半徑的上界與下界相等時對應超圖的結(jié)構(gòu)。對一般超圖,研究了無符號拉普拉斯張量特征值的一些性質(zhì)。根據(jù)拉普拉斯張量的特征向量相應分量的性質(zhì),通過添加或刪除某個滿足特定條件的超邊的方法,構(gòu)造出與原超圖有相同的拉普拉斯張量特征值的超圖,并且給出了一致超圖的拉普拉斯張量和無符號拉普拉斯張量特征值與特征向量相應分量間的關系。對無符號拉普拉斯張量的主特征向量,研究了最大分量和最小分量的界。
【學位授予單位】：哈爾濱工程大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O157.5
【圖文】：

對任意的 ( [ ])ib i n∈ ∈有以上結(jié)果成立，選取不同的正數(shù)時，譜，當ib 選取與超圖相關的的參數(shù)（如度序列）時，譜半徑的上界和下。在定理 2.9 中，令i ib′ = d，即為定理 2.10，令i ib′ = d，即為定理 2四章主要推廣了拉普拉斯矩陣的 Edge Principle 定理，以下是定理內(nèi).12[60]設 G = (V (G ), E (G ))是有n 個點的普通圖，其中1 2( ) { , , , V G = v v , , }m e，λ 是圖 G 的拉普拉斯矩陣的特征值，T1 2( , ,..., )nnx = x x x∈ 是量，如果i jx = x，則有以下結(jié)論成立。兩個分量對應的點 ,i jv v 構(gòu)成一個新的邊 { , }i je = v v，則圖 G ′ = G + e與拉普拉斯矩陣特征值。 { , } ( )i je = v v ∈ E G，則刪除這個邊之后的圖 G ′ = G e與圖 G 有一個相特征值。散數(shù)學中常見的結(jié)構(gòu)，比普通圖的結(jié)構(gòu)更為復雜。下面通過兩個例子行對比，觀察各自特點。圖 2.3（a）是普通圖，2.3（b）是超圖。從圖的一條邊關聯(lián)兩個點，超圖的一條超邊可以關聯(lián)多個點。

（b） 圖 2.4 圖與冪超圖 = (V (G ), E (G ))為k 一致超圖，如果0 1( ), (V G V 1( ) ( ) 1dV G = = V G = k ，0{ ( ) ( E = V G V G超星的中心點。G = (V (G ), E (G ))為k 一致超圖，如果存在正整{ }1,1 1, 1,1 1,( ) ,..., ,..., , ...,,k k k k kV G i i i i i ={{ } { } { 1,1 1, 1,1 1, 1,1 1,1( ) , ..., ,..., ,..., , ,..., ,k k k k k G i i i i i i i = (G ), E (G ))是一個章魚圖的示例。

（a） （b） （c）圖 2.4 圖與冪超圖定義 2.14[44]設 G = (V (G ), E (G ))為k 一致超圖，如果0 1( ), ( ),..., ( )dV G V G V G 是 V，且0V (G ) = 1，1( ) ( ) 1dV G = = V G = k ，0{ ( ) ( ) [ ]}iE = V G V G i ∈d，則稱。0V 中的點稱為超星的中心點。定義 2.15[61]設 G = (V (G ), E (G ))為k 一致超圖，如果存在正整數(shù)k ，使得G 排列成以下序列{ }1,1 1, 1,1 1,( ) ,..., ,..., , ...,,k k k k kV G i i i i i ={{ } { } { }}1,1 1, 1,1 1, 1,1 1,1( ) , ..., ,..., ,..., , ,..., ,k k k k k kE G i i i i i i i =G 為章魚圖。如圖 2.5， G = (V (G ), E (G ))是一個章魚圖的示例。

【參考文獻】

相關博士學位論文 前1條

1 葉淼林;圖與超圖理論中的譜方法[D];安徽大學;2010年

本文編號：2785678