【摘要】：在本文中,我們將利用奇異攝動(dòng)理論中的漸近展開法、經(jīng)典的能量方法、變分方法(包括直接變分法和約束變分法)、上下解方法(也稱為單調(diào)方法)、山路引理(也稱為極大極小方法)和加權(quán)的Sobolev空間技巧等,對(duì)來(lái)自于現(xiàn)代物理學(xué)領(lǐng)域的幾類方程進(jìn)行了深入地研究.具體說來(lái)就是,對(duì)來(lái)自于輻射流體力學(xué)中的輸運(yùn)方程利用漸近展開法和能量方法研究了其混合層方程的漸近極限問題;對(duì)來(lái)自于弦理論中正反膜效用理論的BPS渦旋方程綜合利用變分法、上下解方法和加權(quán)的Sobolev方法,在全平面上研究了其非拓?fù)浣獾拇嬖谛院徒庠跓o(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近性態(tài);對(duì)來(lái)自于規(guī)范場(chǎng)理論中Yang-Mills-Chern-Simons模型(簡(jiǎn)記為YMCS模型)利用變分法和分析技巧研究了其徑向?qū)ΨQ解的存在性,并給出了解在邊界點(diǎn)處的漸近估計(jì);最后,我們對(duì)來(lái)自于現(xiàn)代光學(xué)中的非線性Schr¨odinger方程利用約束變分法和山路引理研究了其穩(wěn)態(tài)方程渦旋解(包括鞍點(diǎn)解)的存在性.本文共分五章.第一章簡(jiǎn)單介紹上述四類方程的物理背景、研究現(xiàn)狀和本文所得到的主要結(jié)果.為了方便起見,我們也羅列了本文所用到的一些知識(shí).在第二章中,我們研究了描述輻射在材料中的空間輸運(yùn)過程的輻射輸運(yùn)方程的小平均自由程的擴(kuò)散極限.為了得到輻射輸運(yùn)方程的小平均自由程擴(kuò)散極限,我們首先構(gòu)造漸近展開的形式解,然后驗(yàn)證這些展開式的正確性.我們令小平均自由程?趨向于零,極限方程的邊界條件與原輻射輸運(yùn)方程的邊界條件并不能匹配.這就需要我們對(duì)極限方程的解加一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)使其更接近原輻射輸運(yùn)方程的解,這個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)就是邊界層(混合層)函數(shù)(當(dāng)極限方程的初始條件與原方程也不能匹配時(shí),就會(huì)出現(xiàn)混合層).通過漸近展開,我們找到擾動(dòng)項(xiàng)的方程,對(duì)其進(jìn)行求解,再對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),即可得到有界區(qū)域[0,1]上,當(dāng)平均自由程趨于零時(shí),非線性輸運(yùn)方程的擴(kuò)散極限.第三章中,我們建立了出現(xiàn)在弦理論中正反膜系統(tǒng)的效用理論中的BPS渦旋方程的解存在性定理和解的一些性質(zhì).我們首先將BPS方程化為R~2上帶有Dirac質(zhì)量源項(xiàng)的具有高度非線性的橢圓方程.然后利用了加權(quán)Sobolev空間的技巧和變分方法得到一對(duì)上下解,最后用單調(diào)迭代方法證明了有界解的存在性.此外,我們還給出了解在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸近估計(jì).第四章中,對(duì)規(guī)范場(chǎng)中出現(xiàn)的描述具有磁荷和電荷的經(jīng)典激發(fā)的非線性場(chǎng):Yang-Mills-Chern-Simons(簡(jiǎn)記為YMCS)模型,我們首先討論了其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),并由此導(dǎo)出了它所對(duì)應(yīng)的非線性常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題;其次,利用直接變分法證明了YMCS模型局部渦旋解的存在性,并利用分析技巧研究了解的性質(zhì);最后,利用比較原理建立了解在端點(diǎn)處的漸近估計(jì).第五章中,我們將對(duì)出現(xiàn)在現(xiàn)代幾何光學(xué)中的非線性Schr¨odinger方程進(jìn)行了研究,建立了穩(wěn)態(tài)方程渦旋解的存在性定理.首先通過約束極小問題,我們證明了正徑向?qū)ΨQ解的存在性,并給出了波傳播常數(shù)的下界估計(jì).其次,我們利用極小極大技巧證明了非平凡解(鞍點(diǎn)解)的存在性.
【學(xué)位授予單位】：北京工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.2

【參考文獻(xiàn)】

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1 楊亦松;;量子場(chǎng)論中的渦旋解與偏微分方程[J];河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2012年05期

本文編號(hào)：2763775