【摘要】：本文首先介紹非匹配網(wǎng)格上橢圓問題的混合有限元方法,在此基礎(chǔ)上我們提出了非匹配網(wǎng)格上的混合有限體積元方法,并給出相應(yīng)的格式.橢圓方程的Neumann邊值問題可以表示為：其中u和p分別表示流和壓力.考慮到介質(zhì)在Ω內(nèi)不同區(qū)域的性質(zhì)不同,在求解上述橢圓問題時,我們有必要對區(qū)域Ω進行分塊處理.假設(shè)開集Q可分割為若干非重疊的子區(qū)域Ωi,i=1,2,…,n,即Q是閉集∪i=1nΩi(?)R2的內(nèi)部,其中Ωi為開集Ωi的閉包.Γi是子區(qū)域Ωi的內(nèi)部邊界,即Γi=aΩi\aΩ.定義區(qū)域Ωi與Ωj的公共邊界為Γij,即Γij=Γi∩Γj,其中記Γii=0進而有Γ=∪i,jΓij.為了保證非匹配邊界上p和u的連續(xù)性,在交界面上需要滿足如下連續(xù)性條件利用該條件,非匹配網(wǎng)格上的橢圓問題可以表示為：定義函數(shù)空間則上述橢圓方程的變分形式可以表示為：其中L2(Ωi)或(L2(Ωi))2上內(nèi)積記為(·,·)i,L22(Γi)上內(nèi)積記為的內(nèi)積記為(·,·ij在Ω上定義有限元空間：則非匹配網(wǎng)格上的混合有限元方法可以表示為：求uh∈vh,ph∈Wh,λh∈Λh使得對于i=1,2,…,n有其中uh,i=uh|Ωi,ph,i=ph|Ωi,λh,i=ph|Γi,這種非匹配網(wǎng)格上的混合有限元方法解的存在性和唯一性以及收斂性都已經(jīng)得到了證明(文獻[30]).類似于混合有限元方法,利用邊界上的連續(xù)性條件(4),我們給出了非匹配網(wǎng)格上的有限體積元方法.在有限體積元方法中,試探函數(shù)空間選為式(13)-(15)定義的函數(shù)空間Uh×Wh×Γh,其中Uh選取最低階Raviart-Thomas元,Wh,Γh選取分片常數(shù)空間,即可以看出如果(j,l)∈Iik,那么對偶單元Tjl就與Tik有公共邊.相應(yīng)的檢驗函數(shù)空間為Vh×Wh×∧h,其中定義從試探函數(shù)空間到檢驗函數(shù)空間的投影算子γh:Uh→Vh,表示為其中|Γik|代表三角形邊Γik的長度.顯然投影算子γh建立了Uh和Vh空間的一一對應(yīng)關(guān)系.空間Vh=γhUh同構(gòu)與空間Uh,進而算子γh：Uh→Vh是有界的,一對一的.因此非匹配有限體積元方法可以表示為：求uh∈Uh,ph∈Wh,經(jīng)過數(shù)值實驗,結(jié)果顯示,非匹配三角形網(wǎng)格上混合有限體積元和混合有限體積元方法的收斂速度一致.實驗結(jié)果同時說明非匹配網(wǎng)格上的有限體積元方法的格式的正確性.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

【參考文獻】

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本文編號：2763720