發(fā)布時(shí)間：2020-07-18 21:55

【摘要】：孿生素?cái)?shù)猜想是素?cái)?shù)分布研究的重要問題。數(shù)百年來,吸引了無數(shù)優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注。如今,盡管這個(gè)猜想還沒有證明,但是圍繞這個(gè)猜想,近年來得到了許多新的進(jìn)展。孿生素?cái)?shù)猜想是說,存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2也是素?cái)?shù)。1921年,英國(guó)數(shù)學(xué)家Hardy和Littlewood[1]提出了圓法,給出了關(guān)于孿生素?cái)?shù)更精確的猜測(cè),即(?)許多數(shù)學(xué)家對(duì)該問題進(jìn)行了研究。研究孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)基本想法,就是考慮相鄰素?cái)?shù)間的距離。一個(gè)弱版本的猜想是說,存在一個(gè)常數(shù)C00,存在無窮多對(duì)素?cái)?shù)對(duì)pn和pn+1,其中pn是第n個(gè)素?cái)?shù),pn+1是第n+1個(gè)素?cái)?shù),滿足pn+1—pn≤C0.如果能證明C0=2,那么孿生素?cái)?shù)猜想就解決了。2005年,三個(gè)數(shù)學(xué)家Goldston,Pintz和Yildirim[2]在孿生素?cái)?shù)猜想這個(gè)問題上取得重大突破,他們提出GPY篩法,并且應(yīng)用此篩法得到了相鄰素?cái)?shù)間的距離的新結(jié)果。不過,他們證明的距離是logn的一個(gè)方冪。2013年,華人數(shù)學(xué)家張益唐[3]改進(jìn)了他們的方法,得到了實(shí)質(zhì)性的突破,證明了相鄰兩個(gè)素?cái)?shù)間的距離的下極限小于等于7000萬。也就是說C0可以取70000000。2014年,Maynard[4]改進(jìn)了GPY篩法,并且將張益唐的結(jié)果改進(jìn)到600。Maynard的方法與張益唐的方法不同,他引入了一個(gè)新思想,把問題最終歸結(jié)為一個(gè)變分問題,通過對(duì)這一變分問題進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算逼近,得到了 M51417255/70816。假設(shè)Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取到1416432/1417255+ε,那么,C0可以取12。2014年,由一批數(shù)學(xué)家組成的POLYMATH[5]小組,對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了細(xì)致的討論,得到了目前最好的結(jié)果:C0可以取246。本文進(jìn)一步研究Maynard所提出的變分問題,首先給出了M51661/830。這是一個(gè)更好的下界估計(jì),運(yùn)用此結(jié)果,并結(jié)合Maynard[4]中篩法的工作,假設(shè)Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取1660/1661+ε,那么C0=12。除此之外,本文證明了這個(gè)變分問題在連續(xù)函數(shù)類上的最大值的對(duì)應(yīng)函數(shù)一定滿足一個(gè)線性積分方程,也就是將原來的非線性泛函問題轉(zhuǎn)化為線性算子的特征值問題(見定理1.2)。最后,我們考慮了在區(qū)間[N,2N)中,有多少個(gè)自然數(shù)n,使得n,n+2,n+6,n+8,n+12中至少有兩個(gè)素?cái)?shù)。我們給出了這個(gè)素?cái)?shù)分布問題的一個(gè)下界估計(jì)。
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O156

【參考文獻(xiàn)】

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1 陳景潤(rùn);ON THE REPRESENTATION OF A LARGER EVEN INTEGER AS THE SUM OF A PRIME AND THE PRODUCT OF AT MOST TWO PRIMES[J];Science in China,Ser.A;1973年02期

本文編號(hào)：2761479