發(fā)布時間：2020-07-18 21:55

【摘要】：孿生素數(shù)猜想是素數(shù)分布研究的重要問題。數(shù)百年來,吸引了無數(shù)優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注。如今,盡管這個猜想還沒有證明,但是圍繞這個猜想,近年來得到了許多新的進(jìn)展。孿生素數(shù)猜想是說,存在無窮多個素數(shù)p,使得p+2也是素數(shù)。1921年,英國數(shù)學(xué)家Hardy和Littlewood[1]提出了圓法,給出了關(guān)于孿生素數(shù)更精確的猜測,即(?)許多數(shù)學(xué)家對該問題進(jìn)行了研究。研究孿生素數(shù)猜想的一個基本想法,就是考慮相鄰素數(shù)間的距離。一個弱版本的猜想是說,存在一個常數(shù)C00,存在無窮多對素數(shù)對pn和pn+1,其中pn是第n個素數(shù),pn+1是第n+1個素數(shù),滿足pn+1—pn≤C0.如果能證明C0=2,那么孿生素數(shù)猜想就解決了。2005年,三個數(shù)學(xué)家Goldston,Pintz和Yildirim[2]在孿生素數(shù)猜想這個問題上取得重大突破,他們提出GPY篩法,并且應(yīng)用此篩法得到了相鄰素數(shù)間的距離的新結(jié)果。不過,他們證明的距離是logn的一個方冪。2013年,華人數(shù)學(xué)家張益唐[3]改進(jìn)了他們的方法,得到了實質(zhì)性的突破,證明了相鄰兩個素數(shù)間的距離的下極限小于等于7000萬。也就是說C0可以取70000000。2014年,Maynard[4]改進(jìn)了GPY篩法,并且將張益唐的結(jié)果改進(jìn)到600。Maynard的方法與張益唐的方法不同,他引入了一個新思想,把問題最終歸結(jié)為一個變分問題,通過對這一變分問題進(jìn)行了數(shù)值計算逼近,得到了 M51417255/70816。假設(shè)Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取到1416432/1417255+ε,那么,C0可以取12。2014年,由一批數(shù)學(xué)家組成的POLYMATH[5]小組,對這個問題進(jìn)行了細(xì)致的討論,得到了目前最好的結(jié)果:C0可以取246。本文進(jìn)一步研究Maynard所提出的變分問題,首先給出了M51661/830。這是一個更好的下界估計,運(yùn)用此結(jié)果,并結(jié)合Maynard[4]中篩法的工作,假設(shè)Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取1660/1661+ε,那么C0=12。除此之外,本文證明了這個變分問題在連續(xù)函數(shù)類上的最大值的對應(yīng)函數(shù)一定滿足一個線性積分方程,也就是將原來的非線性泛函問題轉(zhuǎn)化為線性算子的特征值問題(見定理1.2)。最后,我們考慮了在區(qū)間[N,2N)中,有多少個自然數(shù)n,使得n,n+2,n+6,n+8,n+12中至少有兩個素數(shù)。我們給出了這個素數(shù)分布問題的一個下界估計。
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O156

【參考文獻(xiàn)】

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1 陳景潤;ON THE REPRESENTATION OF A LARGER EVEN INTEGER AS THE SUM OF A PRIME AND THE PRODUCT OF AT MOST TWO PRIMES[J];Science in China,Ser.A;1973年02期

本文編號：2761479