【摘要】：在本文中,我們致力于研究有限光滑一維擬周期薛定諤算子HV,α,θ的譜及其相關(guān)的一些性質(zhì):(HV,α,θx)n=xn+1+xn-1+ V(θ+nα)xn,n ∈Z,(0.1)其中θ ∈ Td稱為初始相位,α ∈ Rd(有理無關(guān))叫做頻率,V ∈ Ck(Td,R)是位勢(shì)。我們知道,薛定諤算子HV,α,θ與薛定諤cocycle(α,A)有著十分密切的聯(lián)系,這里（？）因?yàn)镠V,α,θx=Ex的解滿足（？）.因此,我們可以利用約化的方法來分析有限光滑擬周期線性SL(2,R)-cocycle:(α,A)∈ Td × Ck(Td,SL(2,R)):(θ,v)(?)(θ + α,A(θ)· v)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)然后利用它來研究算子(0.1)的譜性質(zhì)。在第一章中,我們?cè)敿?xì)地介紹有限光滑擬周期線性cocycle,并給出譜理論的簡(jiǎn)介以及一些基本概念。在第二章中,我們證明有限光滑擬周期線性cocycle的定量幾乎可約與可約結(jié)果。在幾乎可約部分,我們首先證明解析KAM定理(擾動(dòng)的KAM),然后利用它以及解析逼近來得到量化的Ck幾乎可約定理。在可約部分,我們利用定量Ck幾乎可約定理和兩個(gè)正測(cè)可約引理(為了敘述方便,這里都稱為正測(cè)可約引理)來獲得定量Ck可約定理。在第三章中,我們利用第二章中建立的定量約化結(jié)果來做譜及譜相關(guān)應(yīng)用。首先作為定量Ck幾乎可約定理的譜相關(guān)應(yīng)用,我們證明一類有限光滑擬周期cocycle Lyapunov指數(shù)的1/2-Holder連續(xù)性。同時(shí),我們利用Thouless公式證明有限光滑小位勢(shì)擬周期薛定諤算子HV,α,θ積分態(tài)密度的1/2Holder連續(xù)性。另一方面,作為定量Ck可約定理的譜應(yīng)用(譜類型與譜結(jié)構(gòu)),對(duì)于一類l2(Zd)上的多頻Ck長(zhǎng)程算子,我們證明它有純點(diǎn)譜;此外,我們證明有限光滑小位勢(shì)擬周期薛定諤算子的通有Cantor譜結(jié)果。值得一提的是,現(xiàn)有的有限光滑約化結(jié)果甚少,而我們的定量Ck幾乎可約定理與定量Ck可約定理正是對(duì)Eliasson[31]中解析連續(xù)系統(tǒng)幾乎可約與可約的推廣。在推導(dǎo)Ck幾乎可約的過程中,我們首先證明了一個(gè)解析KAM定理,經(jīng)過迭代我們可以得到Ch,h'ω強(qiáng)幾乎可約,h'h是任意指定的。這比Eliasson的結(jié)果強(qiáng)許多,因?yàn)閇31]只能做到Cω弱幾乎可約,即解析半徑最后趨于零。這一點(diǎn)特別重要,因?yàn)槿鯉缀蹩杉s幾乎沒有譜應(yīng)用,而強(qiáng)幾乎可約的譜應(yīng)用十分廣泛。在幾乎可約性的譜相關(guān)應(yīng)用方面,對(duì)比Wang-You[59]有限光滑甚至C∞情形Lyapunov指數(shù)不連續(xù)的例子,我們的文章給出了與其不交的另一類正面結(jié)果(在幾乎可約領(lǐng)域內(nèi)LE為零,又LE是次調(diào)和函數(shù)故上半連續(xù),而且LE非負(fù)所以在零處是下半連續(xù)的,故在零處連續(xù),即幾乎可約領(lǐng)域內(nèi)Lyapunov指數(shù)均連續(xù)),由此可見有限光滑情形的結(jié)論非常豐富,值得我們?nèi)パ芯俊Ａ硗?我們證明的有限光滑小位勢(shì)擬周期薛定諤算子積分態(tài)密度1/2Holder連續(xù)的結(jié)果,是對(duì)Avila-Jitomirskaya[9]解析版本的推廣并且我們?cè)试S頻率是高維的而[9]只得到單頻的結(jié)果。最后,在可約性的譜應(yīng)用方面,我們得到了多頻有限光滑擬周期薛定愕算子對(duì)偶算子LV,α,φ的純點(diǎn)譜結(jié)果,這是對(duì)Avila-You-Zhou[14]與Jitomirskaya-Kachkovskiy[42]中解析情形結(jié)果的推廣,而且與Bourgain-Goldstein[24]相比,我們方法上的優(yōu)勢(shì)是我們可以固定頻率。另一方面,我們證明的有限光滑小位勢(shì)擬周期薛定諤算子的通有Cantor譜結(jié)果,是對(duì)Eliasson[31],Puig[52]中解析情形定理的推廣,不僅如此,注意到他們的結(jié)果是在Cω拓?fù)湎碌?而我們可以將其延拓為標(biāo)準(zhǔn)的解析拓?fù)淇臻gCh'ω。
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O177

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本文編號(hào)：2750722