發(fā)布時間：2020-07-07 21:28

【摘要】：在本文中,我們研究了現(xiàn)代數(shù)學中與代數(shù)數(shù)論相關的三個相對獨立的主題,它們分別是:非同余數(shù)的構造、環(huán)面上多米諾鋪磚方法數(shù)的2-adic性質、以及二次數(shù)域的理想類數(shù)與連分數(shù)。本文由三章組成,每一個主題構成一章。首先,基于P.Monsky在1993年給出的計算同余橢圓曲線的2-Selmer rank的顯式公式[20],注意到該公式將判斷某類非同余數(shù)的問題轉化成IF2上的分塊矩陣的計算。在第1章中,我們具體構造了一系列新的非同余數(shù),這些非同余數(shù)可以具有任意多個素因子,并且這些素因子可以來自于不同的模8剩余類。與前人的結果相比較(比如,馮克勤及其學生自20世紀90年代以來基于橢圓曲線和代數(shù)圖論的有關非同余數(shù)的工作[10,12-15],以及近年由田野及其合作者在同余數(shù)問題和BSD猜想上做出的杰出工作[58]),本文所采用方法更加初等卻在一定范圍內行之有效。實際上,從2013年開始,Lindsey Reinholz,Blair K.Spearman 和Qiduan Yang 等人就將該方法用于尋找新的非同余數(shù)[48-51]。其次,基于P.W.Kasteleyn在1961年有關多米諾鋪磚問題的著名結果[28],Henry Cohn于1999年首次研究了2n × 2n平面區(qū)域上多米諾鋪磚方法數(shù)的2-a.dic性質[8]。在第2章中,我們進一步研究了在(4n + 2)×(4n + 2)環(huán)面上的多米諾鋪磚方法數(shù)的2-a.dic性質。具體地,我們發(fā)現(xiàn)在這類環(huán)面上的多米諾鋪磚方法數(shù)可以表示成24n+2g(n)2 + 28n+2(2n+1)4nh(n)其中g(n)和h(n)均取奇數(shù)值。我們證明了:當n變化時,g(n)和h(n)關于2-adic度量是一致連續(xù)的,并且還滿足函數(shù)方程g(-1-n)= g(n)和h(-1-n = h(n)從而得到了與平面區(qū)域情形下類似的結果。最后,假設h(-p)和h(p)分別是二次數(shù)域Q(?)和Q(?)的理想類數(shù)。基于Don Zagier在20世紀70年代有關Kronecker 極限公式的工作[63,64],Lynn Chua,Benjamin Gunby,Soohyun Park和Allen Yuan等人于2015年證明了當素數(shù)p≡3(mod 4)時有同余式h(-p)≡h(p)m(p)(mod 24)成立,其中m(p)由(?)的負正則連分數(shù)展開的極小周期決定[5]。在第3章中,我們基于Zagier的上述工作以及陸洪文于80-90年代利用Hirzebruch和給出的類數(shù)公式[34,35,37],進一步證明了當素數(shù)p ≡ 1(mod 8)時,有同余式h(-p)≡ h(p)m(4p)(mod 23)成立;而當素數(shù)p≡5(mod 8)時,同余式h(-p)≡ h(p)m(4p)(mod 22)在一定條件下成立。這里m(4p)由(?)的負正則連分數(shù)的極小周期決定。
【學位授予單位】：南京大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O156

【相似文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 段煉;彭國華;;關于非同余數(shù)的一些結論（英文）[J];四川大學學報(自然科學版);2015年04期

中國博士學位論文全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 程衛(wèi)東;數(shù)論中的若干問題研究[D];南京大學;2018年

2 尹洪波;半典范基、預投射代數(shù)和非同余子群[D];山東大學;2016年

本文編號：2745632