【摘要】：本文旨在使用變分方法研究廣義擬線性薛定諤方程的駐波解的存在性和多重性.首先,我們把廣義擬線性薛定諤方程的駐波解的求解問(wèn)題歸結(jié)為一類擬線性橢圓型方程的求解問(wèn)題.其次,我們不但使用擾動(dòng)方法證明了廣義擬線性薛定諤方程的基態(tài)型駐波解的存在性,而且還應(yīng)用疇數(shù)理論研究了方程解的個(gè)數(shù)與位勢(shì)函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.最后,我們提出一種處理廣義擬線性薛定諤方程的新方法并用此方法證明了廣義擬線性薛定諤方程無(wú)窮多解的存在性. 本文共分四章,第一章介紹一些背景知識(shí)和本文的研究?jī)?nèi)容,其余各章的主要內(nèi)容分別如下. 第二章研究奇異擾動(dòng)的廣義擬線性薛定諤方程駐波解的存在性、多重性和解的集中行為.我們首先使用擾動(dòng)方法研究常數(shù)位勢(shì)方程基態(tài)正解的存在性并在此基礎(chǔ)上證明井形位勢(shì)方程基態(tài)正解的存在性.其次應(yīng)用疇數(shù)定理證明方程的解的個(gè)數(shù)不少于位勢(shì)函數(shù)的全局極小值點(diǎn)集的疇數(shù).最后給出方程解的L∞估計(jì)并證明方程的解將會(huì)隨奇異擾動(dòng)參數(shù)趨于零而集中到位勢(shì)函數(shù)的極小值點(diǎn)附近. 第三章研究臨界指數(shù)增長(zhǎng)的廣義擬線性薛定諤方程駐波解的存在性.我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不可解問(wèn)題并用對(duì)比的方法證明了一類臨界指數(shù)增長(zhǎng)的廣義擬線性薛定諤方程的基態(tài)型駐波解的存在性. 最后一章介紹一種處理廣義擬線性薛定諤方程的新方式,即一種同時(shí)使用變量變換方法和非光滑變分方法的方式.作為這種方法應(yīng)用的例子,我們證明了超四次增長(zhǎng)的廣義擬線性薛定諤方程無(wú)窮多解的存在性.
【學(xué)位授予單位】：云南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2744400