【摘要】：Laplace方程,又稱調(diào)和方程、位勢方程,由法國數(shù)學家拉普拉斯首先提出。求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學和流體力學等領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一類重要的數(shù)學問題。本文主要考慮二維單聯(lián)通區(qū)域上的Laplace方程邊值問題。它出現(xiàn)在許多科學領(lǐng)域和工程應用,如等離子體物理地球物理學無損檢測和心臟病學。近年來,為了解決這個問題已經(jīng)提出了一些數(shù)值方法,例如差分法,有限元法、蒙特卡羅方法等。本文的主要目的是提供一種簡單而有效的數(shù)值方法來求解Laplace方程邊值問題。其主要的思想是通過線性組合調(diào)和多項式近似的邊值問題的精確解,從而將問題歸結(jié)為確定未知系數(shù)的線性組合,然后取一個適當?shù)恼齽t化方法來進行求解。主要思想如下:假設(shè)區(qū)域D(?)R~2為具有光滑邊界單聯(lián)通的有界區(qū)域�？紤]以下邊值問題△u =0,inD(1)аu/аv+u=f,on аD(2)其中v為аD的單位外法向量,f∈L~2(аD))。由復變函數(shù)理論知,一個解析函數(shù)的實部和虛部分別滿足二維的Laplace方程,稱為調(diào)和函數(shù),既具有關(guān)于自變量的二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足上述方程的連續(xù)函數(shù)。已知當=0,1,……,調(diào)和多項式如下:Ψ_(k,1)(x)= Re{(x_1+ x_2)k},Ψk,2(x)= Im{(x_1+ix_2)k}其中 x =(x1,x2)∈R~2。定義調(diào)和多項式:φ0(x):= Ψ_(0,1)(x),φ_(k,j)(x):= Ψk,j(x)/Mk(3)其中常數(shù) 調(diào)和多項式方法的主要思想是通過線性組合調(diào)和多項式來近似邊值問題(1)-(2)的其中c0和ck,(k=1,……,N,j=1,2)均為實常數(shù)�，F(xiàn)在我們來介紹調(diào)和多項式的逼近。已知uN是近似解,u的近似解是可以得到的。我們的目的是得到uN系數(shù)的數(shù)值近似值。為了確定參數(shù)c0和ck,j,我們可以通過邊界條件,推出得到下面的方程:其中跡算子 由下式定義由(5)定義的算子 是緊且單射的。由引理3.4,我們知道存在由于算子AN是緊的,從而求解算子方程是不適定的問題。我們考慮擾動方程其中fδ∈L~2(аD)是擾動數(shù)據(jù)滿足對于(9)的一個正則化解為調(diào)和多項式的線性組合其中系數(shù) 可通過求解以下方程來確定:由定理3.2可知存在正常數(shù)C = C(D,rin,rex)使得進一步,取γ0,k_01和τ=τ_0~(1+γ)如果取N =k_0ln|lnδ|并取正則化參數(shù)α=δ2/3τ-2N0,有本文第一章介紹Laplace方程的邊值問題及正則化方法。第二章詳細介紹Laplace方程的邊值問題的幾種解法,如差分法,邊界元法。第三章研究調(diào)和多項式的稠密性,提出解決Laplace方程邊值問題一種方法,即調(diào)和多項式法,并給出帶正則化的穩(wěn)定性分析,最后進行數(shù)值實驗。第四章給出結(jié)論。
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.8

【參考文獻】

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1 翟景春，司守奎;拉普拉斯方程邊值問題的一種數(shù)值解法[J];山東科學;1995年03期

本文編號：2730660