【摘要】：在生物數(shù)學(xué)研究中,種群動(dòng)力學(xué)性質(zhì)已經(jīng)成為了一個(gè)重要內(nèi)容,而關(guān)于具隨機(jī)擴(kuò)散項(xiàng)或者非局部擴(kuò)散項(xiàng)的種群模型的動(dòng)力學(xué)研究已經(jīng)受到了許多數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的廣泛關(guān)注和深入研究.此外,時(shí)滯的引入可使所建立的系統(tǒng)能更準(zhǔn)確地反映實(shí)際情況,這是因?yàn)榭紤]過去狀態(tài)對(duì)現(xiàn)在變化率的影響顯得更加合理.特別是在生物數(shù)學(xué)研究中,大量的種群動(dòng)力學(xué)模型是用時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程來描述的.由于能量在生物個(gè)體中傳遞和轉(zhuǎn)化的差異,對(duì)具有不同功能反應(yīng)函數(shù)以及擴(kuò)散項(xiàng)的捕食-被捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究,如穩(wěn)態(tài)解的存在性和穩(wěn)定性,由時(shí)滯引起的Hopf分支等問題,都具有理論意義和實(shí)際意義.在非線性科學(xué)中,分支問題研究非常重要,它反映了現(xiàn)實(shí)世界中某個(gè)或某些因素的細(xì)微變化卻能對(duì)物質(zhì)的變化產(chǎn)生巨大影響.在種群動(dòng)力學(xué)研究中,分支研究可以幫助我們了解某些參數(shù)(比如生物的生存空間和成熟期等)對(duì)種群動(dòng)力學(xué)所產(chǎn)生的影響(比如平衡態(tài)的穩(wěn)定或振蕩),通過調(diào)控這些數(shù)據(jù)可以使得物種向著人們所期望的方向發(fā)展.本文主要研究空間非齊次穩(wěn)態(tài)解的存在性、穩(wěn)定性以及分岔現(xiàn)象.主要研究內(nèi)容分為以下幾個(gè)部分:首先,我們研究了一個(gè)具有齊次Dirichlet邊界條件和隨機(jī)擴(kuò)散的一維時(shí)滯模型.借助于Lyapunov Schmidt約化方法,得到空間非齊次穩(wěn)態(tài)解的存在性和多重性.通過對(duì)特征方程進(jìn)行分析,我們得到空間非齊次平衡態(tài)的穩(wěn)定性,以及在它附近產(chǎn)生的Hopf分支.接著,通過運(yùn)用正規(guī)型理論和中心流形定理,我們研究了Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性.最后,在一維空間中選擇特殊的果蠅模型給出具體例子進(jìn)行詳細(xì)分析,我們得到和一般化理論一致的結(jié)果,此外還得到了一些新的理論結(jié)果.接著,我們?cè)敿?xì)研究了一個(gè)帶齊次Dirichlet邊界條件和隨機(jī)擴(kuò)散且具有一般功能反應(yīng)函數(shù)的捕食與被捕食的二維時(shí)滯模型的動(dòng)力學(xué)行為.通過運(yùn)用Lyapunov Schmidt約化方法,我們得到了系統(tǒng)在多參數(shù)變化下空間非齊次穩(wěn)態(tài)解的存在性.此外,還得到從平凡解附近分支出的空間非齊次穩(wěn)態(tài)解及其穩(wěn)定性,以及在它附近產(chǎn)生Hopf分支的條件.最后,在一維空間上,選擇不同的功能反應(yīng)函數(shù)給出具體例子,我們得到和一般化理論一致的結(jié)果,并利用數(shù)值模擬來解釋我們所獲得的理論結(jié)果.最后,我們考慮了非局部擴(kuò)散Logistic模型的動(dòng)力學(xué)行為.通過運(yùn)用上下解方法、不動(dòng)點(diǎn)理論、Lyapunov-Schmidt約化方法和分支理論,分別得到了模型在不同參數(shù)變化下穩(wěn)態(tài)解的存在性、多重性和穩(wěn)定性結(jié)論.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：2724693