【摘要】：本文用變分方法和一些分析技巧,研究了兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階橢圓方程的解的存在性和多重性.在第1章中,主要介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程具有的物理背景和研究進(jìn)展,給出了一些記號(hào)、定義和預(yù)備知識(shí).在第2章中,考慮下面的分?jǐn)?shù)階Schrodinger方程:其中α ∈(0,1),N2α(-△)αρ-是范圍被正函數(shù)ρ∈C(RN,R+)所決定的一類(lèi)非局部區(qū)域分?jǐn)?shù)階Laplace算子,定義如下∫RN(-△αρu(x)dx=∫RN∫B(0,ρ(x))[u(x+z)-u(x)][v(x+z)-v(x)]/|z|N-2αdzdx,u,v ∈ Hα(RN).我們對(duì)V和f提出下面的假設(shè):(P)ρ ∈ C(RN,R+),存在 ρ00,使得 ρ(r)≥ ρ0;(V)V ∈C(RN,R),infx∈RNV(r)≥ C0,存在 r00,使得對(duì)任意 M0 lim |y|→∞meas({x ∈ RN:|x-y| ≤r0,V(x)≤ M})= 0;(f1)f ∈ C(RN × R,R)且 limt→0f(x,t)/t=0,關(guān)于x∈RN一致成立;(f2)limt→+∞f(x,t)/t2α-1*=0,關(guān)于x ∈ 一致成立,其中2α*=2N/N-2α麓為分?jǐn)?shù)階臨界指數(shù);(f3)limt→∞F(x,t)/t2=+∞,關(guān)于x ∈ RN 一致成立,其中F(x,t)=∫0tf(x,τ)dτ;(f4)令f(x,t)= tf(x,t)-2F(x,t),存在 θ ≥ 1,使得對(duì)任意(,t)∈ ×R,s ∈[0,1],都有 θF(x,t≥ F(x,st).結(jié)合這些條件,用山路引理和一些變分技巧得到了方程(1)的非平凡基態(tài)解.在第3章中,研究了帶有一般凹凸項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階橢圓方程:其中Ω∈R 光滑有界,α ∈(0,1),N2α,λ0是一個(gè)常數(shù).h和g滿足下列條件:(h1)H(x,t)∈ × R),且 H(x,0)= 0.其中 H(x,t)= ∫0t h(x,τ)dτ;(h2)存在x ∈ Ω,r0 ∈(1,2),600,使得對(duì)任意 t ∈ R,H(x,t)b0 |t|r0;(h3)對(duì)任意(x,t)∈ × R,存在 r1,r2 ∈(1,2),使得|h(x,t)|≤b1(x)|t|r-1 +b2(x)|t|r2-1.其中bi(x)∈Lβi(Ω,R+),βi∈(22α*/2α*(2-ri)+2α*-2,2/2-ri],i= 1,2;(h4)G(x,t)= a(x)|t|s,其中 2s2二 a(x)∈L∞(Ω,R),G(x,t)=∫0t9(x,τ)dτ;(h5)存在(?)(?)R,使得對(duì)任意r ∈(?),a(x)0,且meas(?)0.在本節(jié),我們用山路引理和(Ce)c條件得到了方程(2)解的多重性.
【學(xué)位授予單位】：西南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O175.25

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本文編號(hào)：2721637