【摘要】：本文主要研究了 Lyapunov指數(shù)的逼近理論,包括被周期點(diǎn)處的Lyapunov指數(shù)逼近和被限制在馬蹄上的指數(shù)逼近.同時(shí)還探討了它在非一致Livsic定理和譜半徑的連續(xù)性等方面的應(yīng)用.我們的第一個(gè)工作研究了矩陣上鏈(Cocycle)的Lyapunov指數(shù)的周期逼近問(wèn)題.主要考慮的是完全不可逆情形,即動(dòng)力系統(tǒng)f:X→ X和上鏈A都不可逆.我們證明了如果動(dòng)力系統(tǒng)f有足夠的雙曲性,則A關(guān)于一個(gè)遍歷測(cè)度的Lyapunov指數(shù)可以被周期點(diǎn)處的Lyapunov指數(shù)逼近.隨后我們用第一個(gè)結(jié)果證明了非一致雙曲系統(tǒng)的矩陣上鏈的Livsic定理.即對(duì)于非一致雙曲系統(tǒng)f:M → M,μ是雙曲測(cè)度,若上鏈A:M→ Md(R)滿足A(fn-1p)… A(fp)A(p)= Id,(?)p ∈ M,n ≥ 1,且 fnp = p,則上同調(diào)方程A = C o f · C-1有可測(cè)解,即存在可測(cè)映射C:M → GL(d,R)使得對(duì)μ-幾乎所有的x ∈ M有A(x)= C(fx)C(x)-1.值得注意的是我們的結(jié)果并不要求μ是遍歷的.接下來(lái)我們用周期逼近的結(jié)果證明了聯(lián)合譜半徑和廣義譜半徑(定義見(jiàn)1.2.3節(jié))關(guān)于上鏈?zhǔn)沁B續(xù)的.即若系統(tǒng)f有足夠的雙曲性(滿足封閉性質(zhì)),則聯(lián)合譜半徑函數(shù)關(guān)于Holder連續(xù)上鏈?zhǔn)沁B續(xù)的.而對(duì)于廣義譜半徑函數(shù)的連續(xù)性,我們證明了推廣的Berger-Wang公式,即聯(lián)合譜半徑等于廣義譜半徑.傳統(tǒng)的聯(lián)合譜半徑和廣義譜半徑的定義考慮的是全移位系統(tǒng),我們這里考慮的是對(duì)一般的系統(tǒng),且用奇異值函數(shù)代替范數(shù)定義的聯(lián)合譜半徑.然后我們考慮了 Banach空間上的上鏈,證明了擬緊的Banach上鏈的Lyapunov指數(shù)可以被周期點(diǎn)的Lyapunov指數(shù)逼近.對(duì)于一般的Banach 上鏈,Kalinin和Sadovskaya在[1]中給出了一個(gè)無(wú)法周期逼近的反例.我們這里證明了對(duì)于擬緊的Banach上鏈可以有周期逼近.最后我們證明了對(duì)于正熵系統(tǒng),擬緊的Banach上鏈關(guān)于雙曲測(cè)度的Lyapunov指數(shù)可以被限制在馬蹄上的指數(shù)逼近.我們證明了馬蹄的存在性,同時(shí)在馬蹄上有控制分解且上鏈在其上的增長(zhǎng)率與上鏈關(guān)于雙曲測(cè)度的Lyapunov指數(shù)很接近.
【學(xué)位授予單位】：蘇州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O174.41

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本文編號(hào)：2721447