【摘要】：分?jǐn)?shù)發(fā)展方程能廣泛應(yīng)用于描述具有記憶和遺傳特性的物理問題,近年來該類方程已經(jīng)成為熱門的研究話題.在描述粘彈性材料以及在定義包含穩(wěn)定性、可觀性和可控性在內(nèi)的狀態(tài)空間時(shí)Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)或Hilfer型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(廣義Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù))比Caputo型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)更適宜.因此,本文著重考慮Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng)與Hilfer型分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng).另一方面,預(yù)解是半群的推廣且在研究抽象的Volterra方程及分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程解時(shí)是十分方便和有效的.因此,本文主要任務(wù)是研究預(yù)解的性質(zhì)(包括穩(wěn)定性、從屬原理、逼近、緊性)以及與預(yù)解相關(guān)算子的性質(zhì)(包括連續(xù)性、緊性)并利用這些性質(zhì)來研究Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng)的逼近控制以及Hilfer型分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制.本論文安排如下:第一章介紹了所討論問題的研究背景以及本篇論文的研究內(nèi)容.第二章總結(jié)了本文所需要的預(yù)備知識,包括分?jǐn)?shù)微積分以及Mittag-Leffler函數(shù)的定義和重要結(jié)果,半群與預(yù)解的定義以及重要性質(zhì),集值分析里的一些定義和重要結(jié)論.第三章考慮了與參數(shù)h相關(guān)的預(yù)解族{Rh(t)}t0的一致穩(wěn)定性.我們首先利用傅里葉分析的方法建立了{(lán)Rh(t)t≥0的GGP型定理并且提出了保證{Rh(t)}t≥0一致穩(wěn)定的一些條件.其次,在合適條件下,我們基于GGP型定理和預(yù)解的對偶理論證明了弱LP穩(wěn)定性能蘊(yùn)含一致穩(wěn)定性.本章結(jié)論推廣了與h相關(guān)的C0-半群族{Th(t)}t≥0)以及與參數(shù)無關(guān)的預(yù)解族{R(t)}t≥0的一致穩(wěn)定性結(jié)果.第四章研究了β階γ型預(yù)解{TTβ,γ(s)}s0的從屬原理與逼近.我們首先引入預(yù)解是s≥s0(s00)的指數(shù)有界的概念并給出保證預(yù)解是s≥s0的指數(shù)有界的一些條件.然后,我們利用這些條件以及概率密度函數(shù)來建立{Tβ,γ(s)}s0的從屬原理.其次,在A生成的β階γ型預(yù)解是s≥s0的指數(shù)有界的假設(shè)下,利用判別預(yù)解是s≥s0的指數(shù)有界的條件證明了kA(k≥ 0)也生成β階γ型預(yù)解{Tβkγ(s)}s.此外,我們也研究了{(lán)Tβ,γk(s)}s0的逼近.所建立的從屬原理為Hilfer分?jǐn)?shù)發(fā)展方程與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)發(fā)展方程的應(yīng)用提供了方便且所獲得的預(yù)解的逼近定理為用Meyer逼近研究這兩種方程的時(shí)間最優(yōu)控制問題提供了保證.第五章聯(lián)合預(yù)解、積分壓縮以及空間分解的方法來討論Hilbert空間H中下列系統(tǒng)的逼近可控問題:其中A:D(A)(?)H→H是α階預(yù)解{Tα(t)}t0的生成元,f:J ×H→H是具有正則積分壓縮假設(shè)的非線性泛函,u∈L2(J;U)且B∈L L2(J;U);L2(J;H)這里J =[0,b]且 U是 Hilbert 空間.在算子t1-αTα巴(t)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下,我們首先利用預(yù)解性質(zhì)來給出適度解的概念并利用積分壓縮條件討論了解的存在唯一性.其次,利用空間分解的方法研究了逼近控制問題.最后呈現(xiàn)例子說明所給條件的合理性.我們強(qiáng)調(diào)這種聯(lián)合預(yù)解、積分壓縮、空間分解的方法可以適用于Hilbert空間中整數(shù)階發(fā)展系統(tǒng)以及Caputo或Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng).第六章分析了Banach空間V中具有β階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的下列抽象時(shí)滯發(fā)展系統(tǒng)的逼近控制:其中0β1,A生成β階預(yù)解{Rβ(t)}t0,φ在[-r,0]上連續(xù),y(t)=T(β)t1-βy(t)對任意t ∈ J:=[o,b]成立,y(0)= limy(t),yt(θ)=y(t +θ)對t∈J與[-r,0]成立,f是不具有Lipschitz條件的非線性函數(shù)且u∈Lp(J;u),B∈L(Lp(J;U);Lp(J;V)(p1/β),這里U是Banach空間.首先,利用預(yù)解方法和卷積技巧刻畫了該時(shí)滯發(fā)展系統(tǒng)適度解的定義.其次,利用預(yù)解理論研究了該系統(tǒng)解集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(緊性和Rδ屬性).然后,在非線性項(xiàng)沒有Lipschitz假設(shè)下利用解集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和預(yù)解方法來研究該系統(tǒng)的逼近可控性.最后,利用所獲得的理論結(jié)果處理一類分?jǐn)?shù)擴(kuò)散系統(tǒng).我們的結(jié)果推廣和延伸了已有的相關(guān)文獻(xiàn)且我們的方法可以適用于Banach空間整數(shù)階以及Riemann-Liouville或Caputo分?jǐn)?shù)發(fā)展系統(tǒng).第七章利用β階γ型預(yù)解的逼近理論與Meyer逼近方法去研究Banach空間V中下列系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制:其中0β1,0 ≤ γ ≤ 1,記號Jtγ(1-β)表示γ(1-β)階分?jǐn)?shù)積分算子,A生成s ≥ s0(s00)的指數(shù)有界的β階γ型預(yù)解{Tβ,γ(t)}t0,f:[0,T]×V→V是不具有Lipschitz條件的連續(xù)函數(shù),Vad是可允許的控制集,B ∈ L∞([0,T],L(Y,V)),這里Y是自反可分的Banach空間.首先,我們利用卷積技巧和預(yù)解理論給出了該系統(tǒng)適度解的定義.其次,在適當(dāng)條件下,利用Schauder定理與預(yù)解的類半群屬性(類似半群屬性的性質(zhì))研究了該系統(tǒng)適度解的存在性,此時(shí)適度解唯一性不能保證.然后,在非線性項(xiàng).f不具有Lipschitz條件下,借助于第四章所獲得的β階7型預(yù)解的逼近理論,利用兩次構(gòu)建極小化序列的方法(首先對固定的控ω構(gòu)造狀態(tài)的極小化序列,然后構(gòu)造控制的極小化序列)獲得了Meyer問題Pε最優(yōu)狀態(tài)-控制對.再次,借助于β階γ型預(yù)解的逼近理論和Meyer問題Pε的解,利用Meyer逼近方法去研究該系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)問題.最后,給出實(shí)例說明本文所獲得的理論的可用性.本章為優(yōu)化理論提供了新方法且所獲得結(jié)論推廣了已有的相關(guān)文獻(xiàn).第八章總結(jié)本文所獲得的結(jié)論并給出了以后的研究方向.
【學(xué)位授予單位】：揚(yáng)州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O152;O175;O231;O177

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1 陳之明;劉影;;關(guān)于(C,α)-預(yù)解族[J];阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2010年01期

2 李亞;;C-正則預(yù)解族的左乘積擾動(dòng)[J];浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版);2007年03期

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本文編號：2717579