【摘要】：圖的正則覆蓋理論是代數(shù)圖論和拓?fù)鋱D論中一種非常重要的工具和方法.近年來,這種方法被大量的應(yīng)用于對稱圖和對稱地圖的構(gòu)造中.自從Hofmeis-ter于1988年得到了連通圖雙層覆蓋的計(jì)數(shù),圖的正則覆蓋計(jì)數(shù)問題就引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.另一方面,地圖計(jì)數(shù)與虧格分布一直以來都是拓?fù)鋱D論的核心研究內(nèi)容之一,國內(nèi)外學(xué)者也在此問題上得到了豐富的結(jié)果.因此基于這兩方面內(nèi)容,本文主要致力于研究以下三個問題:在給定覆蓋變換群下的圖正則覆蓋計(jì)數(shù)問題,地圖計(jì)數(shù)尤其是Cayley地圖的虧格分布以及圖的有向嵌入問題,一類群下的正則t-平衡Cayley地圖的分類問題.目前這些方面的研究在國際上已成為研究群、圖、地圖等不同數(shù)學(xué)分支交叉領(lǐng)域一個較熱的課題.我們力求緊跟國際最新進(jìn)展,解決一些相關(guān)問題.本文的結(jié)構(gòu)如下:第一章是緒論部分,其中第一節(jié)主要介紹了圖的正則覆蓋計(jì)數(shù)與地圖虧格分布的研究背景,第二節(jié)給出了本文用到的相關(guān)概念和知識,第三節(jié)為本文的結(jié)構(gòu).第二章,首先給出了循環(huán)群的Z2-擴(kuò)張的分類,然后利用圖正則覆蓋計(jì)數(shù)公式得到了覆蓋變換群是循環(huán)群Z2n-1的Z2-擴(kuò)張的圖正則覆蓋計(jì)數(shù)公式,并由此得到了覆蓋變換群是任意循環(huán)群的Z2-擴(kuò)張的圖正則覆蓋計(jì)數(shù)公式.最后確定了覆蓋變換群是廣義二面體群或廣義雙循環(huán)群的圖正則覆蓋計(jì)數(shù)公式.第三章,給出了任意循環(huán)群的Zp-擴(kuò)張(p為奇素?cái)?shù))的分類,并由此得到了覆蓋變換群是任意循環(huán)群的Zp-擴(kuò)張(p為奇素?cái)?shù))的圖正則覆蓋計(jì)數(shù)公式.第四章,首先給出計(jì)算Cayley地圖虧格的公式,其次利用此公式計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)中幾類比較著名的圖類的Cayley地圖虧格多項(xiàng)式.第一節(jié)得到了星圖、冒泡排序圖、超立方體的Cayley地圖虧格多項(xiàng)式,第二節(jié)得到了交錯群網(wǎng)絡(luò)的Cayley地圖虧格多項(xiàng)式,第三節(jié)給出了多維環(huán)面的Cayley地圖虧格多項(xiàng)式.第五章,基于有向嵌入、Steiner三元系和電流圖的概念和性質(zhì)以及前人的結(jié)果,利用電流圖的方法證明了頂點(diǎn)為n的競賽圖,當(dāng)且僅當(dāng)n ≡ 3或7(mod 12)時(shí),可有向嵌入到虧格為(?)的可定向曲面.這個結(jié)果部分回答了Bonnington等人在[J.Combin.Theory Ser.B,2002(85):1-20]給出的下列問題:哪些頂點(diǎn)為n的競賽圖可有向嵌入到虧格為(?)的可定向曲面,即Kn的虧格.第六章,基于正則Cayley地圖的性質(zhì)以及已知的結(jié)果,得到了兩個二面體群直積上的正則t-平衡Cayley地圖分類的部分結(jié)果.最后一章總結(jié)了本文的結(jié)果并提出了進(jìn)一步研究的問題.
【圖文】：

邐覆環(huán)Ｚ２－張的圖正則覆蓋（ｉ）邐ａ邐ａ＇，ｂ邐ｂ，逡逑（ｉｉ）邐ａ邐ａ＇，ｂ邋＾邋ａ２＂邋￣ｂ，逡逑（ｉｉｉ）邐ａ邐ａ＇ｂ，邋ｂ邐ｂ，逡逑（ｉｖ）邐ａ邋ｈ－）邋ａ＇ｂ，ｂ邐ｔ－＞邋ａ２＂邐ｂ．逡逑這四種形式中，ｃｒ（ｆｌ）和都滿足Ｍ２ｎ的定義關(guān)系，因此分別計(jì)算在這四情況下ｃｒ（ａ）和ｃｒ0）的可能形式可得丨Ａｕｔ（Ｍ２ｎ）｜邋＝邋２ｎ．逡逑由（ａｌ）２邋＝邋ｆ邋＿可得若ｉ‘是偶數(shù)則ｏ（Ｗ）邋＝邋２；若／是奇數(shù)則ｏ（ａＡ）邋＝邋４．因可以設(shè)ｃｒ?yàn)椋徨澹掊澹幔疗渲校ǎ�，２＂＿１）邋＝邋１且／是偶�?shù)．因?yàn)椋悖蚴侨鹤詷?gòu)，所以所有和（Ｔ（的都應(yīng)滿足ＳＤ２？的定義關(guān)系，于是通過對滿足的邋ｃｒ邋計(jì)數(shù)可得丨Ａｕｔ邋（ＳＤ２ｎ）｜邋＝邋２２ｎ—４．特別地，若ｎ邋＝邋３，則｜Ａｕｔ（Ｑ８）｜邋＝邋２４，注意這種情況沒有包含在上述引理中．２．２，引理２．６和引理２．７可以證明下面的定理．逡逑Ｑ２ｎ逡逑

下面我們用Ｍｂｂｉｕｓ函數(shù)來計(jì)算Ｉｓ0Ｃ（Ｇ；ｒ）．可以證明廣義四元數(shù)群Ｑ２＞■的子逡逑群為邋Ｚ２ｍ邋或者邋Ｑｇ，不妨設(shè)邋＝邋＜，＋＇〉，Ｑｇ邋＝邐⑴其中邋ｍｅ｛ｌ，．．．，ｎ－ｌ｝以逡逑＿Ｓｆｅ｛０，．．．，，２”－ｍ－ｌ｝．從Ｑ２”的子群格（見圖２．１）可得逡逑１邐５邋＝邋Ｑ２？，逡逑一邋１邐或＾N，逡逑＂邐—，２邐５邋＝邋Ｚ２？－２，逡逑０邐其他．逡逑由定理２．３可得逡逑定理２．１１如果ｒ?yàn)椋玻铍A的廣義四元數(shù)群Ｑ２ｎ，那么逡逑ｆ邋１（２胡＿３邋－邋３邋－邋２明－３邋＋邋２卜２）邐如果邋ｎ邋＝邋３，逡逑Ｉｓｏｃ（Ｇ；ｎ邋＝邋｛邋３，逡逑［＾Ｊ（２你邋＿邋３邋？邋２＂（ｎ＿１）邋＋邋２卿－２）＋１）如果邋ｎ邋＞邋３，逡逑易證上面的結(jié)果和定理２．１０的結(jié)果相同．逡逑Ｚ２＾－．逡逑２邐ｍ＾＿２邐ｍ＾＿２逡逑Ｚ４邐Ｍｉ０）邐Ｍｉ１）逡逑ｚ？）邐Ｚｐ）逡逑１逡逑圖２．２：邋Ｍ２ｎ的子群格．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋２．２：邋Ｔｈｅ邋ｓｕｂｇｒｏｕｐ邋ｌａｔｔｉｃｅ邋ｏｆ邋Ｍ２＂．逡逑如果ｒ邋２邋Ｍ２ｎ，那么Ｍｙ的子群ｖＳ同構(gòu)于４或者Ｍｇ，其中ｍ邋ｅ邋｛２，．．．，ｎ邋－邋１｝，逡逑＊？邋＝邋０
【學(xué)位授予單位】：北京交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O157.5

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前4條

1 楊艷;郝榮霞;;扇圖在曲面上嵌入的分類[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2008年05期

2 楊艷;劉彥佩;;兩類四正則圖的完全虧格分布[J];數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2007年05期

3 朱子龍;劉彥佩;;兩類圖的虧格分布[J];沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2006年01期

4 萬良霞;劉彥佩;;一類新圖類的可定向嵌入的虧格分布[J];北京交通大學(xué)學(xué)報(bào);2005年06期

本文編號：2696901