【摘要】：非線性可積方程的孤子解及其動力學(xué)性質(zhì)的研究是可積系統(tǒng)理論研究中的最重要的課題。本論文主要研究了耦合聚焦-散焦復(fù)短脈沖方程、空間離散Hirota方程、空間離散非局部復(fù)的修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程以及非局部復(fù)的耦合無色散方程。研究了這幾個非線性可積方程的可積性,獲得了這幾個非線性可積方程的精確解,包括不同類型的孤子解、呼吸子解和怪波解。討論了空間離散非局部復(fù)mKdV方程的可積性和對應(yīng)連續(xù)方程可積性之間的聯(lián)系。本文所獲得的研究結(jié)果無疑給人們認識和理解這幾個非線性可積系統(tǒng)的可積性增加了新的有價值的內(nèi)容。文章分五個章節(jié)進行論述:第一章,主要介紹可積系統(tǒng)精確求解的幾種方法以及怪波解的概念,并闡述本文的主要研究結(jié)果和創(chuàng)新點。第二章,研究一個耦合聚焦-散焦復(fù)短脈沖方程。眾所周知,非線性Schrodinger方程(NLS)可以用來描述單色波在弱的非線性色散介質(zhì)中的傳播,例如光波。文獻J.E.Rothenberg[Opt.Lett.17(1992)]指出,當(dāng)光脈沖的寬度達到飛秒級(10-15s)的時候,NLS方程不能準(zhǔn)確描述超短脈沖在非線性介質(zhì)中的傳播。T.Schafer和C.E.Wayne[Phys.D.196(2004)]提出了短脈沖(SP)方程,用它來描述超短脈沖在非線性介質(zhì)中的傳播,SP方程的出現(xiàn)引起了人們的極大興趣。A.Sakovich,S.Sakovich在文獻[J.Phys.Soc.Japan 74(2005)]中給出了SP方程的Lax對,證明了SP方程在hodograph變換下可以轉(zhuǎn)化成sine-Gordon方程。B.F.Feng[Phys.D 297(2015)]從Maxwell方程組出發(fā),推導(dǎo)出了復(fù)短脈沖(CSP)方程和耦合聚焦-聚焦CSP方程,并用Hirota雙線性方法求得了這個方程的多孤子解。L.M.Ling,B.F.Feng,Z.N.Zhu[Phys.D 327(2016)]用Darboux變換(DT)方法構(gòu)造了 CSP方程的多孤子解、多呼吸子解和高階怪波解。他們[Phys.Rev.E 93(2016)]從Maxwell方程組出發(fā),推導(dǎo)出了散焦CSP方程,并用Darboux變換方法求得了這個方程的多暗孤子解。耦合NLS(CNLS)方程(聚焦-聚焦、聚焦-散焦、散焦-散焦)和聚焦、散焦CSP方程的研究工作啟發(fā)我們研究耦合CSP(CCSP)方程。聚焦-聚焦CCSP方程的孤子解在文獻[Phys.D.297(2015)]和[Wave Motion 67(2016)]中已被研究。本章中我們用Hirota雙線性方法研究求解了聚焦-散焦CCSP方程的多孤子解,包括亮-亮、亮-暗、暗-暗孤子解以及呼吸子解和亮、暗怪波解。同時指出每一類孤子中都存在三種不同的波型:光滑孤子、尖峰孤子和圈孤子。考察了孤子之間的相互作用,發(fā)現(xiàn)亮-亮孤子之間會出現(xiàn)非彈性碰撞,亮-暗孤子之間會呈現(xiàn)周期現(xiàn)象,暗-暗孤子中光滑孤子和尖峰孤子碰撞后保持各自的形態(tài)不變。這些表明聚焦-散焦CCSP方程的孤子解性態(tài)不同于單分量的CSP方程和聚焦-聚焦CCSP方程。第三章,研究一個空間離散Hirota方程。A.Pickering,H.Q.Zhao和Z.N.Zhu[Pro-c.R.Soc.A 427(2016)]研究了一個空間離散Hirota方程與Hirota方程的可積性之間的聯(lián)系。L.Draper[Oceanus,10(1964)]首先提出怪波的概念,此后怪波現(xiàn)象相繼在許多不同的領(lǐng)域被發(fā)現(xiàn)。Akhmediev,A.Ankiewicz和M.Taki在文獻[Phys.Lett.A 373(2009)]中指出,聚焦NLS方程的有理解能夠模擬深水中怪波的發(fā)生,而高階怪波解是一階有理解的非線性疊加。B.L.Guo,L.M.Ling和Q.P.LiuPhys.Rev.E 85(2012)]用廣義Darboux變換構(gòu)造了聚焦NLS方程的N-階怪波解。關(guān)于Hirota方程的高階怪波已有研究。J.HePhys.Rev.E 85(2012)]用改進的Darboux變換求解了Hirota方程的高階怪波解。X.Wang,Y.Q.Li,Y.Chen[Wave Motion 51(2014)]用廣義Darboux變換方法求解了耦合Hirota方程的高階怪波解。N.Akhmediev,A.Ankiewicz和J.M.Soto-Crespon[Phys.Rev.E 80(2009)]用雙線性方法得到Ablowitz-Ladik(AL)方程和離散Hirota方程的N-階有理解。隨后Y.Ohta和J.K.Yang[J.Phys.A 47(2014)]用雙線性方法給出了離散Hirota方程的N-階怪波解。本章中,我們用廣義Darboux變換構(gòu)造了一個新的空間離散Hirota方程的N-階怪波解,分析了怪波解的性質(zhì),揭示出了這個空間離散Hirota方程的高階怪波具有非常豐富的結(jié)構(gòu)。對1-階和2-階離散怪波解做了數(shù)值模擬,結(jié)果顯示怪波解的穩(wěn)定性和怪波的強弱程度有關(guān)。我們用等高線法[Proc R.Soc.A 471(2015)]考察了一階怪波的長度、寬度和面積,并分析了怪波的調(diào)制不穩(wěn)定性。第四章,研究一個空間離散非局部復(fù)mKdV方程的可積性和非局部復(fù)mKdV方程的可積性之間的聯(lián)系。Z.N.Zhu,H.Q.Zhao,X.N.Wu在文獻[J.Math.Phys.52(2011)]中研究了一個耦合空間離散mKdV系統(tǒng)的可積性和一個耦合mKdV系統(tǒng)的可積性之間的聯(lián)系,指出這個耦合離散mKdV系統(tǒng)的Lax對、守恒律、Darboux變換、精確解在空間步長趨于零時,收斂到耦合mKdV系統(tǒng)對應(yīng)的結(jié)果。最近,Ablowitz和Mus-slimani[Phys.Rev.Lett.110(2013)]提出了一個新的非線性可積方程iqt(x,t)+qxx(x,t)±2q2(x,t)q*(-x,t)=0,(1)稱之為非局部的NLS方程,并用反散射方法求解了該方程的Cauchy問題。他們在文獻[Phys.Rev.E 90(2014)]中研究了非局部離散NLS方程,用Riemann-Hilbert方法求得了該方程的離散孤子解。Ablowitz和Musslimani在文獻[Nonlinearity 29(2016)]和文獻[Stud.Appl.Math.139(2016)]中提出了一系列非線性非局部可積方程,包括非局部實的和復(fù)的mKdV方程。L.Y.Ma,S.F.Shen和Z.N.Zhu[J.Math.Phys.58(2017)]研究了非局部復(fù)mKdV方程的規(guī)范等價結(jié)構(gòu),證明了它等價于一個旋轉(zhuǎn)鏈模型。本章中,我們研究空間離散非局部復(fù)mKdV方程可積性和非局部復(fù)mKdV方程可積性之間的聯(lián)系。構(gòu)造了這個空間離散非局部復(fù)mKdV方程的Lax對、N-次Darboux變換,得到了該方程的反暗孤子,M-型孤子,呼吸子,扭結(jié)孤子和局部有理解。證明了該方程的Lax對、DT、孤子解的連續(xù)極限收斂到非局部復(fù)mKdV方程相對應(yīng)的結(jié)果。第五章,研究一個非局部復(fù)的耦合無色散(CCD)方程。Ablowitz和Musslimani在文獻[Nonlinearity 29(2016)]中提出了非局部sine-Gordon方程。J.L.Ji,Z.L,Huang和Z.N.Zhu[Ann.Math.Sci.Appl.29(2016)]用Darboux變換求出了這個方程的精確解,同時提出 了非局部復(fù)的CCD方程。K.Chen,X.Deng,S.Y Lou,D.J.Zhang[Stud.in Appl.Math.141(2018)]從經(jīng)典復(fù)CD方程的雙Wronskian形式的解約化得到了非局部復(fù)的CCD方程的雙Wronskian形式的解。本章中,我們構(gòu)造了非局部復(fù)的CCD方程的N-次Darboux變換,得到了該方程的精確解并對解的性質(zhì)進行了研究。從零種子解出發(fā),我們得到了該方程的反暗孤子,W型孤子和“增長孤子”、“衰減孤子”以及周期波解。從非零種子解出發(fā),得到了反暗-反暗、反暗-暗、暗-暗孤子。從零種子解出發(fā),我們還得到了反暗-W型2孤子,以及反暗-反暗-W型3孤子,并研究了這些孤子的相互作用。結(jié)果顯示,和實的非局部CD方程相比,非局部復(fù)的CCD方程的解具有更為豐富的性質(zhì)。
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175

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本文編號：2695832