【摘要】：1984年,Clunie和Sheil-Small得到了若干關(guān)于單葉調(diào)和映射與共形映射中經(jīng)典問題的類比結(jié)果,自此以后,平面調(diào)和映射一直倍受關(guān)注,并發(fā)展成為一個(gè)熱門的研究課題.調(diào)和映射很早就被用來表示極小曲面,而極小曲面是微分幾何中一類非常重要的曲面,它的研究涉及到幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)及拓?fù)鋵W(xué)等諸多的學(xué)科領(lǐng)域,極小曲面在理論研究和工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用和重要意義.本學(xué)位論文主要研究復(fù)平面上的調(diào)和映射族的卷積的單葉性、通過調(diào)和映射來構(gòu)造極小曲面、調(diào)和線性微分算子的完全凸和全星形半徑、對(duì)數(shù)調(diào)和映射的基本性質(zhì),如:系數(shù)估計(jì)、增長(zhǎng)定理和偏差定理等.本論文共分為六章,具體安排如下:第一章,介紹了一些相關(guān)的記號(hào)和定義.此外,我們還闡述了所研究問題的背景及主要結(jié)果.第二章,首先得到了右半平面調(diào)和映射的卷積沿實(shí)軸凸的幾個(gè)充分條件.然后我們考慮分別具有伸縮商為(z+a)/(1+az)和e~(iθ)z~n的兩調(diào)和映射族的卷積,其中-1a1,θ∈R,n∈N,并證明了當(dāng)n=1時(shí),這兩個(gè)函數(shù)族的卷積是局部單葉的.從而部分解決了Dorff等人~([21])提出的問題,并列表說明當(dāng)n≥2時(shí)這類卷積不是單葉的.第三章,首先利用Cohn’s法則和數(shù)學(xué)歸納法證明了一般化的右半平面調(diào)和映射與垂直條形帶的調(diào)和映射的卷積是單葉且沿實(shí)軸凸的.然后利用Gauss-Lucas定理證明最近由Kumar等人提出的有關(guān)右半平面調(diào)和映射與垂直條形帶調(diào)和映射卷積的猜想.第四章,構(gòu)造了一些取不同的伸縮商且沿實(shí)軸方向凸的單葉、保向的調(diào)和映射,我們也得到了與這些調(diào)和映射相關(guān)的一些極小曲面.解決了最近由Dorff和Muir提出的猜想.當(dāng)伸縮商為解析函數(shù)的平方時(shí),我們利用Mathematica軟件畫出這些調(diào)和映射提升到相應(yīng)的極小曲面的圖像.第五章,設(shè)f=h+(?)∈H為一調(diào)和映射,我們首先得到調(diào)和微分算子(?)的α-階完全星象和α-階完全凸精確半徑.更一般地,我們研究了h和g滿足特定系數(shù)條件的調(diào)和線性微分算子F_λ(z)=(1-λ)f+λD_f~?(|?|=1)的單葉、完全星象、完全凸的半徑,其中有些結(jié)論是對(duì)Kalaj等人~([79])所做工作的推廣和改進(jìn).第六章,考慮定義在單位圓盤D上的經(jīng)典的單葉對(duì)數(shù)調(diào)和映射(?).首先,得到了復(fù)值連續(xù)函數(shù)在單位圓盤上星象或凸的充要條件.其次,就如何構(gòu)造對(duì)數(shù)調(diào)和Koebe函數(shù)、右半平面對(duì)數(shù)調(diào)和映射、雙裂縫對(duì)數(shù)調(diào)和映射作了詳盡地介紹,并證明這些映射像域的精確性.接下來對(duì)單葉星象對(duì)數(shù)調(diào)和函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行估計(jì),對(duì)對(duì)數(shù)調(diào)和映射的特殊子類的增長(zhǎng)定理和偏差定理也進(jìn)行了研究.最后,提出類似于經(jīng)典的解析函數(shù)的對(duì)數(shù)調(diào)和映射的Bieberbach猜想和對(duì)數(shù)調(diào)和映射的覆蓋定理.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O174.51

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本文編號(hào)：2692072