【摘要】：本文主要研究三類含非局部項的橢圓方程(系統(tǒng))解的存在性及其性態(tài),其中包括Choquard型方程,含分?jǐn)?shù)階Laplacian算子的Choquard型方程以及Schr(?)dinger-Poisson 系統(tǒng).本文共分五章:在第一章中,我們概述本文所研究問題的背景及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并簡要介紹本文的主要工作及相關(guān)的預(yù)備知識和一些記號.在第二章中,我們首先證明下列含Hardy-Littlewood-Sobolev臨界指標(biāo)的Choquard型方程-△u =(Iα*|u|2a*)|u|2a*-2u,u ∈ D1,2(RN)(Q1)的每個正解都是徑向?qū)ΨQ,關(guān)于某點單調(diào)遞減且形式如cα(t2 + |x-x0|2)2,這里 V3,α ∈(0,N),2a*=N+a/N-2是關(guān)于于Hardy-Litttewood-Soboolv不等式的上臨界指標(biāo),常數(shù)t0且ca0依賴于α.我們也研究了下列Choquard方程-△u + V(x)u =(Iα*|w|2a*)|u|2α-2u,u ∈ D1,2(RN).(Q2)利用含Riesz位勢的集中緊性原理,我們得到一個全局緊性結(jié)果,確切來說,我們給出方程(Q2)的能量泛函對應(yīng)的(PS)序列的一個完整描述.利用這樣一個性質(zhì),我們成功證明當(dāng)||V(x)||LN/2充分小時,方程(Q2)至少有一個正解.此結(jié)果將Benci和Cerami(J.Funct.Anal.,88,90-117(1990))考慮半線性 Schr(?)dinger 方程時得到的結(jié)果推廣至Choquard方程.在第三章中,我們考慮下列分?jǐn)?shù)階Choquard方程(-△)su + λV(x)u =(Iα*F(u))f(w),x∈RN,(Q3)這里s ∈(0,1),,N≥2,,α ∈((N-4s)+,N),參數(shù)λ0,位勢函數(shù)V(x)非負(fù)且連續(xù).利用變分方法,我們得到了方程(Q3)基態(tài)解的存在性并且證明當(dāng)參數(shù)λ充分大時,基態(tài)解會集中在位勢阱int(V-1(0))的底部附近.上述結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在Math.Methods Appl.Sci.,41,1145-1161(2018).在第四章中,我們研究下列分?jǐn)?shù)階Schr(?)dinger-Poisson系統(tǒng)變號解的存在性及其漸近行為{(-△)su + V(x)u + λΦ(x)u = f(u),x ∈ R3,(Q4)(-△)tΦ = w2,x ∈ R3,(Q4)這里s,∈(0,1),參數(shù)λ0,位勢函數(shù)V(x):R3 → R+滿足連續(xù)性條件.因為此系統(tǒng)(Q4)中包含多個非局部項,我們將引入新的技巧來證明此系統(tǒng)存在一個極小能量變號解μλ.進一步,我們還證明此系統(tǒng)(Q4)的任意變號解的能量嚴(yán)格大于兩倍的基態(tài)能量.當(dāng)λ→ 0+時,μλ的漸近行為也被研究.上述結(jié)果將Wang和Zhou(Calc.Var.Partial Differential Equaions.,52,927-943(2015)),Shuai 和 Wang(Z.Angew.Math.Phys.,66,3267-3282(2015))研究 Schr(?)dinger-Poisson 系統(tǒng)得到的結(jié)果推廣至分?jǐn)?shù)階Schr(?)dinger-Poisson系統(tǒng).上述結(jié)果已被Appl.Annal.接收并在線發(fā)表.在第五章中,我們考慮如下分?jǐn)?shù)階Schr(?)dinger-Poisson系統(tǒng)正解的存在性{ε2s(-△)su + V(x)u + Φ(x)u = K(x)f(u)+ |u|2s*-2u,x ∈ R3,(Q5)(Q5)ε2s(-△)sΦ = u2,x ∈ R3,這里s ∈(3/4,1),參數(shù)ε0,位勢函數(shù)V(x),K(x)非負(fù).2s*是分?jǐn)?shù)階Sobolev嵌入定理對應(yīng)的臨界指標(biāo).對非線性項f和位勢函數(shù)V(x),K(x)提適當(dāng)條件,我們證明當(dāng)參數(shù)ε充分小時,系統(tǒng)(Q5)存在一個正的基態(tài)解且基態(tài)解集中于給定的某個與位勢函數(shù)V(x)和K(x)相關(guān)的集合中.這個結(jié)果推廣了 Yu等(Calc.Var.Partial Differential Equations,56,(2017))研究次臨界指數(shù)增長的分?jǐn)?shù)階Schr(?)dinger-Poisson系統(tǒng)的工作.當(dāng)V(x)達(dá)到最小值且K(x)達(dá)到最大值,我們還利用Ljusternik-Schnirelmann疇數(shù)理論證明系統(tǒng)(Q5)存在多個正解.
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175.25

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本文編號：2688385