【摘要】：1900年在第二次數(shù)學(xué)家大會(huì)上,Hilbert提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題,其中第16個(gè)問題的后半部分是關(guān)于討論多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)。它成為了近代動(dòng)力系統(tǒng)研究的核心問題之一。在眾多數(shù)學(xué)家的共同努力之下,動(dòng)力系統(tǒng)定性理論已經(jīng)發(fā)展成為較為成熟的理論體系,并在機(jī)械、電訊、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)以及其他科學(xué)領(lǐng)域里的應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入。本博士論文主要研究了動(dòng)力系統(tǒng)定性理論、可積性理論和幾何奇異攝動(dòng)理論及應(yīng)用。著重考慮了中心焦點(diǎn)問題、代數(shù)可積性問題和生物模型的動(dòng)力學(xué)分析。具體來說,本文首先討論了任意n次擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的中心分類,得到了含有中心的擬齊次系統(tǒng)的簡(jiǎn)便算法。其次,本文考慮了描述神經(jīng)元?jiǎng)幼麟娢恢芷谛哉鹗幍慕?jīng)典模型-FitzHugh-Nagumo模型,討論了該模型的代數(shù)可積性,進(jìn)而刻畫了該三維系統(tǒng)的全局動(dòng)力動(dòng)力學(xué)性態(tài)。最后,針對(duì)描述離子通道中粒子運(yùn)動(dòng)的Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型,運(yùn)用幾何奇異攝動(dòng)理論和定性理論,揭示了在離子通道中影響粒子運(yùn)動(dòng)的因素,解釋了實(shí)際實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象和粒子運(yùn)動(dòng)特性的產(chǎn)生機(jī)制。本論文的具體內(nèi)容分為三個(gè)部分。第一部分主要研究了平面擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問題。2009年,Llibre等人[86]從系統(tǒng)的權(quán)重次數(shù)分類,討論了權(quán)重次數(shù)為1,2,3,4的擬齊次多項(xiàng)式的中心分類;2013年,[56]中則通過對(duì)擬齊次系統(tǒng)性質(zhì)的分析,得到了計(jì)算任意n次擬齊次系統(tǒng)的算法,并利用該算法得到了所有的二次、三次擬齊次系統(tǒng);后來,[13]、[76]、[123]的工作中,根據(jù)[56]中的算法,得到了所有的三次、四次和五次擬齊次系統(tǒng),并分析這些系統(tǒng)進(jìn)行了中心分類和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),由這些工作可知,二次、四次擬齊次系統(tǒng)不存在中心,只有一類三次擬齊次系統(tǒng)含有中心,兩類五次擬齊次系統(tǒng)含有中心。在本文第二章的工作中,我們更進(jìn)一步的考慮了具有更高次數(shù)的擬齊次系統(tǒng)的中心條件,即討論了更一般的情況,對(duì)于任意次數(shù)n的擬齊次系統(tǒng)的中心條件。首先,在該部分證明了任意偶數(shù)次擬齊次系統(tǒng)不存在中心,該結(jié)論包含了之前工作中關(guān)于二次、四次擬齊次系統(tǒng)不含有中心的結(jié)論。其次,對(duì)于奇數(shù)次擬齊次系統(tǒng),得到了兩個(gè)方面的結(jié)論。一方面,得到了含有中心的擬齊次系統(tǒng)的具體形式及系統(tǒng)的中心條件,進(jìn)而將擬齊次系統(tǒng)的中心問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)齊次系統(tǒng)的中心問題。該結(jié)論則簡(jiǎn)化了分析擬齊次系統(tǒng)中心條件的方法,提供了一種新的思路。就三次、五次擬齊次系統(tǒng)而言,由該部分結(jié)果可知,其中心條件可以簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的中心問題,避免了使用[13,123]中分析中心條件時(shí)所用到的復(fù)雜工具。另一方面,提供了一種由系統(tǒng)次數(shù)n計(jì)算含有中心系統(tǒng)的簡(jiǎn)便算法,并以七次擬齊次系統(tǒng)為例,展示該算法的可行性和簡(jiǎn)便性。第二部分則主要研究了三維FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)的代數(shù)可積性及全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。早在1878年,Darboux在[35,36]中提出了分析系統(tǒng)代數(shù)可積性的新思路,建立了達(dá)布可積性理論,并在之后Bruns[20],Poincare[111,112]等數(shù)學(xué)家的基礎(chǔ)性工作中,將多項(xiàng)式系統(tǒng)的代數(shù)可積性轉(zhuǎn)化為完整刻畫達(dá)布多項(xiàng)式的問題。Poincare在其工作中也指出,沒有一種有效的方法計(jì)算給定多項(xiàng)式系統(tǒng)的達(dá)布多項(xiàng)式。在解決經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)的代數(shù)可積性問題時(shí),Llibre和Zhang[96]中提出了一種求解給定多項(xiàng)式系統(tǒng)達(dá)布多項(xiàng)式的方法——特征曲線法。對(duì)于三維FitzHugh-Nagumo系統(tǒng),在本文第三章中對(duì)該系統(tǒng)的達(dá)布多項(xiàng)式進(jìn)行了完整刻畫。然而,之前該問題一直未得到解決的困難在于方法。特征曲線法對(duì)三維FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)并不適用。為了克服這一難點(diǎn),我們引入了FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)的一個(gè)輔助系統(tǒng),這是一種求解達(dá)布多項(xiàng)式的新思路,推廣了[96]中特征曲線法的應(yīng)用,運(yùn)用特征曲線法對(duì)輔助系統(tǒng)的不變代數(shù)曲面進(jìn)行完整刻畫,根據(jù)輔助系統(tǒng)和原系統(tǒng)之間的關(guān)系,進(jìn)而得到:FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)的所有達(dá)布多項(xiàng)式。在得到FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)達(dá)布多項(xiàng)式(即不變代數(shù)曲面)結(jié)果的基礎(chǔ)之上,在第四章研究了帶有不變代數(shù)曲面的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。到目前為止,并沒有完備的理論來研究三維系統(tǒng)的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。三維系統(tǒng)的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題本身就是一個(gè)難題。以前刻畫帶有不變代數(shù)曲面的三維系統(tǒng)的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的工作中,往往是考慮將三維系統(tǒng)限制在不變曲面上,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為研究二維系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。而在該部分的工作中,我們利用定性理論中的blow-up技術(shù)和三維Poincare緊化,刻畫了滿足一定參數(shù)條件的三維FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)在Poincare球內(nèi)的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在該部分工作中,當(dāng)將系統(tǒng)限制在一些不變代數(shù)曲面上時(shí),系統(tǒng)是不解析的。為了分析不解析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài),我們綜合考慮了系統(tǒng)在不變代數(shù)曲面上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、原三維系統(tǒng)的奇點(diǎn)性質(zhì)以及不變代數(shù)曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),從而得到了帶有該不變代數(shù)曲面的系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從得到的拓?fù)湎鄨D中,可知在不變代數(shù)曲面上,FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)存在唯一的異宿軌,即回歸到原來的偏微分系統(tǒng)中,該系統(tǒng)存在有界的波前解。生物體內(nèi)神經(jīng)興奮的傳導(dǎo)、心臟搏動(dòng)以及激素分泌等生命活動(dòng)均與體內(nèi)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)息息相關(guān)。在生物體內(nèi)為粒子運(yùn)動(dòng)提供場(chǎng)所的是位于細(xì)胞膜表面的離子通道。Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型是描述離子通道中粒子運(yùn)動(dòng)的典型模型。最后一部分,我們考慮帶有邊值條件的一維穩(wěn)態(tài)PNP模型其中系統(tǒng)中的變量為電勢(shì)φ,k種電荷的濃度Ckk,以及k種電荷的流量Jk,x=0,1表示通道的兩端。對(duì)應(yīng)的邊值條件為φ(0)=V,ck(0)=Lk;φ(1)=0,ck(1)=Rk.相比于其他模型,該模型更加全面的將永久電荷Q和邊值條件對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響考慮在內(nèi),其中永久電荷是通道中帶電的蛋白結(jié)構(gòu),其對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)起著關(guān)鍵作用。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,直接測(cè)量的數(shù)據(jù)是電流,電流的變化則體現(xiàn)了通道中粒子運(yùn)動(dòng)的變化,由于電流I和變量流量Jk滿足關(guān)系:I=(?)zsJs(V).因此,在該問題的討論中,工作的重點(diǎn)則是通過討論引起流量Jk變化的因素來解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。2007年,Eisenberg和Liu在[42]中利用幾何奇異攝動(dòng)理論,得到了該邊值問題的解。以該工作為基礎(chǔ),在離子通道問題上有了豐富的結(jié)果,如[68]中則討論了充分小的永久電荷對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響。由于相對(duì)邊值條件中粒子的濃度,永久電荷的濃度比較大。因此,在該部分我們考慮了充分大的永久電荷對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響。與[68]工作相比,該問題假設(shè)更貼近通道中的實(shí)際情況。因此,我們的結(jié)果中揭示了一些實(shí)際離子通道所具有的性質(zhì),這些在之前的工作中是沒有體現(xiàn)的。首先在本文第五章我們得到了當(dāng)永久電荷充分大時(shí)方程的解,并通過對(duì)解進(jìn)行定性分析,得到了通道中電流的保守性,以及邊值條件對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響。其中電流的保守性是在研究PNP模型中首次得到的性質(zhì)。最后,在本文第六章,我們解釋了離子通道所固有的一個(gè)性質(zhì)——衰減性質(zhì)。該性質(zhì)是一種在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中觀察到的、反常識(shí)的性質(zhì)。到目前為止,還沒有任何工作在理論上對(duì)該性質(zhì)產(chǎn)生的機(jī)制進(jìn)行解釋。而我們的結(jié)果不僅蘊(yùn)含著該性質(zhì),并且利用定性分析和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合,首次對(duì)該現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)制做出了分析。雖然在該部分的討論中我們考慮的模型是簡(jiǎn)化后的模型,但是由簡(jiǎn)單模型體現(xiàn)的性質(zhì)才是物質(zhì)所具有的本質(zhì)性質(zhì)。該部分的結(jié)果具有一定的實(shí)際應(yīng)用意義。
【圖文】：

定理４．１．１邋ＦｉｔｅＨｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ系統(tǒng)（４．１）在無窮遠(yuǎn)處的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)與系統(tǒng)參數(shù)ａ，逡逑Ｇ＿ＩＲ無關(guān)。系統(tǒng)（４．１）無窮遠(yuǎn)處的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)如圖４．１，即在Ｐｏｉｎｃａｉｉ球面上，平逡逑面上的大圓充滿了奇點(diǎn)，＾軸端點(diǎn)處的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)是星型結(jié)點(diǎn)。逡逑圖４．１：系統(tǒng)（４．１）在ＰｏｉｎｃａｒＳ球面上無窮遠(yuǎn)處的相圖逡逑５０逡逑

b\0逡逑（ａ）邋ｄ邋＜邋０，邋ｃ邋＜邋０邐（ｂ）邋ｄ邋＞邋０，邋ｃ邋＜邋０逡逑圖４．３：具有不變代數(shù)曲面％的系統(tǒng)（４．１）的全局相圖。其中在（ａ）中，％兩支的無窮遠(yuǎn)逡逑處分別與球面上ｅ邋＝邋０＿平面上大圓的上、下四分之一半圓相交；在（６）＿中．．，％兩支的無逡逑窮遠(yuǎn)處均與球面上：ｒ邋＝邋０平面上大圓相交。在情況（ａ）中，，系統(tǒng)（４．１）在％上半支上的動(dòng)逡逑力學(xué)性質(zhì)為：在妁上有兩個(gè)有限奇點(diǎn)，原點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)，另一個(gè)是鞍點(diǎn)。鞍點(diǎn)的兩逡逑條穩(wěn)定分界線均連接著鞍點(diǎn)和相同的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)，當(dāng)ｔ－ｒｏｏ時(shí)，鞍點(diǎn)的一條不穩(wěn)定分逡逑界線趨向于原點(diǎn)，另一條趨向于另一個(gè)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。在情況（６）中，系統(tǒng)（４．１）在％右半逡逑支上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)為：有限奇點(diǎn)與情況（ｃ0相同，鞍點(diǎn)的兩條穩(wěn)定分界線均連接著鞍點(diǎn)逡逑和ｒ軸負(fù)半軸上的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)，當(dāng)丨時(shí)，一條不穩(wěn)定分界線運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)，另一條逡逑則運(yùn)動(dòng)到２軸正半軸上的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。在情況：（《）
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O19

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本文編號(hào)：2683029