【摘要】：最小二乘問題是數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域的經(jīng)典研究課題之一,求解最小二乘問題的理論與算法在結(jié)構(gòu)設(shè)計、參數(shù)識別、振動理論以及線性最優(yōu)控制等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用。本篇碩士論文主要研究一類非負(fù)約束下的矩陣最小二乘問題,該問題主要是用于處理來源于醫(yī)學(xué)圖像重建,放射治療中的逆問題以及計算分離超平面等理論與實際應(yīng)用問題中的不相容線性不等式組。這類非負(fù)約束最小二乘問題的解是相應(yīng)線性不等式組在最小二乘意義下的最佳逼近解,特別當(dāng)該最小二乘問題的目標(biāo)函數(shù)值為零時,表明相應(yīng)的線性不等式組是相容的。盡管這一類非負(fù)約束最小二乘問題的目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù),而且相應(yīng)的梯度是全局Lipschitz連續(xù)的,但是與經(jīng)典的非負(fù)約束最小二乘問題(NNLS)不同,該問題的解可能不唯一,而且其目標(biāo)函數(shù)的二階Jacobi矩陣不存在。因此不能直接利用求解凸優(yōu)化問題的二階方法直接求解這一類非負(fù)約束最小二乘問題。由于這類非負(fù)約束最小二乘問題的目標(biāo)函數(shù)是半光滑的,因此可以嘗試?yán)冒牍饣ｎD法的思想求解這類非負(fù)約束最小二乘問題。本篇碩士論文基于罰函數(shù)方法,將該非負(fù)約束最小二乘問題轉(zhuǎn)化為一類無約束的凸優(yōu)化問題,在此基礎(chǔ)上,利用基于廣義Jacobi的修正牛頓法進(jìn)行求解,并給出了相應(yīng)算法的收斂性證明。為了保證解的非負(fù)性和廣義Jacobi矩陣的正定性,該方法需要引入較大的罰參數(shù)和較小的修正因子,這可能導(dǎo)致數(shù)值算法的不穩(wěn)定性。為此,本篇碩士論文將深入研究該類非負(fù)約束最小二乘問題的解的特征,利用Hilbert空間中經(jīng)典的最佳逼近定理和極分解定理給出該類非負(fù)約束最小二乘問題解的充分必要條件。在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上,本文還將提出求解該問題的精確固定矩陣迭代方法。由于精確固定矩陣迭代方法的每一步都需要求一個經(jīng)典的非負(fù)約束最小二乘子問題(NNLS)的精確解,因此該方法的計算量大,不適合求解規(guī)模較大的問題,從而本文將基于Armijo搜索條件,提出相應(yīng)的不精確迭代方法,并分別給出精確和不精確矩陣迭代方法的收斂性證明。當(dāng)?shù)谋平饨咏谶@類非負(fù)約束最小二乘問題的真解時,本文提出的精確與不精確固定矩陣迭代方法不能保證相應(yīng)迭代解的目標(biāo)函數(shù)值具有足夠的下降量,因此本文還將討論關(guān)于精確與不精確固定矩陣迭代方法的積極集策略。通過不斷更新迭代解對應(yīng)的積極集,將原問題轉(zhuǎn)化為一個無約束最小二乘問題,并把該無約束最小二乘問題的解作為下一步迭代的下降方向,保證每一步迭代具有足夠的下降量,從而進(jìn)一步提高精確與不精確固定矩陣迭代方法的計算效率。最后我們將通過多個數(shù)值算例來驗證本文理論結(jié)果的正確性和數(shù)值方法的有效性,并比較本文所提出算法的計算效率。
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O241.5

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 孫艷波;;非負(fù)線性最小二乘問題與線性互補問題及不動點問題的等價性[J];安徽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2015年06期

2 貢平鄴;;最小二乘問題的研究現(xiàn)狀[J];洛陽師范學(xué)院學(xué)報;2012年02期

3 王茜;;廣義不定最小二乘問題的擾動分析(英文)[J];華東師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2009年04期

4 王明輝;;一個約束最小二乘問題(英文)[J];科學(xué)技術(shù)與工程;2009年22期

5 陳忠,黃惠;求解非線性最小二乘問題的迭代法[J];武漢大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版);2003年01期

6 高堅,賀秉庚;用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解非線性最小二乘問題[J];工科數(shù)學(xué);2002年04期

7 桂冰;用分塊的高斯─約當(dāng)方法求解最小二乘問題[J];工科數(shù)學(xué);1994年02期

8 劉欽圣;線性最小二乘問題解法的某些進(jìn)展[J];數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識;1991年04期

9 魏木生,陳果良;加權(quán)總體最小二乘問題的分析[J];計算數(shù)學(xué);1993年01期

10 湯健康;用2-塊SSOR求解稀疏最小二乘問題的收斂性[J];高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報;1988年02期

相關(guān)會議論文 前5條

1 劉歆;;求解可分非線性最小二乘問題的新方法(英文)[A];中國運籌學(xué)會第八屆學(xué)術(shù)交流會論文集[C];2006年

2 劉歆;;二次最小二乘問題的全局化算法(英文)[A];中國運籌學(xué)會第九屆學(xué)術(shù)交流會論文集[C];2008年

3 江瀟;殷洪友;;一種解非負(fù)線性最小二乘問題的新算法[A];中國運籌學(xué)會第九屆學(xué)術(shù)交流會論文集[C];2008年

4 毛劍琴;石永輝;K.HUNG;;最小二乘問題求解專家系統(tǒng)的探討[A];1990年控制理論及其年會應(yīng)用論文集（3）[C];1990年

5 楊振宇;周鴻興;;分布參數(shù)MIMO控制系統(tǒng)反求輸入的線性最小二乘問題[A];1993年控制理論及其應(yīng)用年會論文集[C];1993年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前10條

1 劉巧華;若干最小二乘問題的舍入誤差研究[D];華東師范大學(xué);2005年

2 裘漁洋;線性約束矩陣最小二乘問題：理論與算法[D];浙江大學(xué);2007年

3 王明輝;Procrustes問題的迭代解法和兩個矩陣擾動問題[D];華東師范大學(xué);2008年

4 王茜;系統(tǒng)解耦和極點配置問題與不定最小二乘問題[D];華東師范大學(xué);2009年

5 羅自炎;Lyapunov-type對稱錐規(guī)劃[D];北京交通大學(xué);2010年

6 吳頡爾;正則化方法及其在模型修正中的應(yīng)用[D];南京航空航天大學(xué);2007年

7 唐利民;非線性最小二乘的不適定性及算法研究[D];中南大學(xué);2011年

8 胡淼;振動式離心機(jī)動態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計關(guān)鍵技術(shù)與方法研究[D];天津大學(xué);2012年

9 張劍塵;幾類特殊約束矩陣方程問題及其最佳逼近問題[D];湖南大學(xué);2009年

10 趙麗君;幾類特殊線性約束矩陣方程問題及其最佳逼近問題[D];湖南大學(xué);2008年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 侯燕;最小二乘問題精確罰的光滑牛頓-最速下降算法[D];北京交通大學(xué);2018年

2 常璐;一類約束矩陣最小二乘問題的理論與算法[D];湖南大學(xué);2018年

3 楊玲玲;帶多重右邊的不定最小二乘問題的條件數(shù)[D];重慶大學(xué);2017年

4 馬鵬;多右端項最小二乘問題的條件數(shù)研究[D];蘭州大學(xué);2018年

5 曹新宇;分布魯棒最小二乘問題的理論研究及其應(yīng)用[D];遼寧師范大學(xué);2018年

6 歐洋君;幾類矩陣方程不定最小二乘問題的研究[D];湖南科技大學(xué);2011年

7 張宏偉;關(guān)于最小二乘問題近似解誤差估計的進(jìn)一步研究[D];中國海洋大學(xué);2011年

8 江瀟;非負(fù)最小二乘問題的算法研究[D];南京航空航天大學(xué);2009年

9 鄭昭靜;稀疏最小二乘問題的求解及其應(yīng)用[D];中國石油大學(xué)（華東）;2013年

10 李鵬程;新的求解超大規(guī)模最小二乘問題的隨機(jī)算法[D];西安電子科技大學(xué);2013年

，

本文編號：2676744