【摘要】：本文中我們主要研究了根式分拆函數(shù),著色分拆函數(shù)和加性表示函數(shù).具體工作如下:1.根式分拆函數(shù)的漸近公式令p(n)表示n的分拆個數(shù),這就是經(jīng)典的分拆函數(shù).1918年,Hardy和Ramanujan給出了p(n)的漸近公式分拆函數(shù)p(n)的研究有著非常悠久的歷史,并且已經(jīng)衍生出了很多其它有限制條件的分拆函數(shù).令p(n,k)是n恰好表成fk個部分的分拆個數(shù).1941年,Erdos和Lehner給出了它的漸近公式p(n,k)～(n-1 k-1)/k! when k=o(n1/3).設(shè)A = {a,a2,…,ak}是自然數(shù)集的有限子集,且(a1,a2,…,ak)= 1.令p(n,A)是n表成A中元素之和的表法個數(shù).2000年,Nathanson給出了它的漸近公式.本文,我們研究根式分拆函數(shù)的漸近公式.對任意正實數(shù)r,令根式分拆函數(shù)pr(n)表示方程n =[r(?)a1+[r(?)a1]+…+[r(?)ak]解的個數(shù),其中ai(1 ≤ i ≤ k)是整數(shù),且滿足1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ≤ afk.2015年,我們給出了p2(n)的上下界,即存在兩個正常數(shù)τ1和τ2使得exp(τ1n2/3)≤ p2(n)≤exp(τ2n2/3).2016年,Luca和Ralaivaosaona進一步給出了p2(n)的漸近公式.2016年,對任意實數(shù)r1,我們也給出了pr(n)的上下界.在第一章中,對任意實數(shù)r1,我們給出了pr(n)的漸近公式,即其中l(wèi)是滿足lr ≤ l +1的整數(shù),c1,c2,...,cl是可以計算的常數(shù),且僅依賴于r.特別地,c1 =(1 + 1/r)(rζ(r + 1)Γ(r + 1))1/r+1.目前該結(jié)果發(fā)表在J.Number Theory上.2.著色分拆函數(shù)的漸近公式有很多數(shù)學家關(guān)注一些特殊的著色分拆函數(shù)的性質(zhì).例如,Chan和Kim等人考慮了 2-著色分拆函數(shù)qk(n),它是在n的分拆中,共有兩種顏色著色每一個分拆項,其中一種顏色只著色fk的倍數(shù)的分拆項的分拆個數(shù).Chan和Cooper等人研究了 4-著色分拆函數(shù)c(n),它是在n的分拆中,共有四種顏色著色每一個分拆項,其中兩種顏色只著色3的倍數(shù)的分拆項的分拆個數(shù).這些學者給出了一系列的同余等式.在本文中,我們給出一般的著色分拆函數(shù)的漸近公式.給定正整數(shù)1 = s1s2…Sfk和正整數(shù)l1,l2,...,lk.在n的分拆n =a1+a2+…+ am中,用l1+l2+…+lk種顏色給分拆項aj(1≤j≤m)著色,不妨設(shè)這些顏色為1,2,...,l1+ l2 + … +lk.其中顏色l1 + l2+…li-1 + 1,...,l1+ l2 +…+li只著色si(1 ≤ i ≤k)的倍數(shù)的分拆項,我們稱這樣的分拆個數(shù)為(s,l)-著色分拆函數(shù)g(s,l,n),其中s =(s1,s2,...,sk),1=(l1,l2,...,lk).在第二章中,我們給出g(s,l,n)的帶有余項的漸近公式,即對于任給的正數(shù)ε,我們有其中3.加性表示函數(shù)設(shè)集合A(?)N,n ∈N,令RA(n)表示方程n = a + b,a,b∈A的解數(shù).經(jīng)典的Erdos-Turan猜想是指若對充分大的整數(shù)n都有R4(n)≥ 1,則RA(n)是無界的.但是該猜想至今還沒有解決.有很多數(shù)論學者也研究群上的表示函數(shù).設(shè)G為有限阿貝爾群,|G| = m,A(?)G,g∈ G.定義RA(g)是方程g=a+b,a,b∈A的解的個數(shù).最近,Sandor和Yang證明了,若m ≥ 36,且對任意n ∈ 有RA(n)1,則存在n0 ∈Zm,使得RA(no)≥6.在第三章中,對有限阿貝爾群G,且|G| = m,集合4(?)G,我們證明了:(a)若集合{g:g ∈ G,RA(g)=0}中元素的個數(shù)不超過7/32m-1/2(?)10m-1,則存在g∈G使得RA(g)≥ 6;(b)若1 ≤ RA(g)≤ 6,g ∈G,則集合{g:g ∈ G,RA(g)=6}的元素個數(shù)不少于7/32m-1/2(?)10m-1.該成果已發(fā)表在Bull.Aust.Math.Soc.上.
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O156.4

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本文編號：2665999