【摘要】：拋物型方程反問題是數(shù)學(xué)物理反問題的一個(gè)重要分支,也是工業(yè)應(yīng)用中的一個(gè)古老問題。如物質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)(熱量傳導(dǎo)系數(shù))的確定、源/匯項(xiàng)的反演以及邊界處交換系數(shù)的確定等問題,都是工業(yè)應(yīng)用中的實(shí)際問題。20世紀(jì)70年代以來,不少數(shù)學(xué)家對此類問題研究做了大量的工作,如Cannon,Rundell,DuChateau,Isakov以及Beck等,使得拋物型方程相關(guān)反問題研究受到人們越來越多的關(guān)注。本文主要考慮了兩類發(fā)展型方程最優(yōu)解的收斂性。研究在適當(dāng)?shù)母郊訔l件下正則化問題解的存在性和收斂性以及運(yùn)用全變差正則化方法研究解的存在性、唯一性與穩(wěn)定性。本文主要分為以下五個(gè)章節(jié):第一章是緒論部分,主要簡述了偏微分方程反問題的一些研究背景和國內(nèi)外有價(jià)值的研究現(xiàn)狀,尤其是對拋物型方程系數(shù)反問題的研究做了詳細(xì)的介紹。第二章主要考慮了一類優(yōu)化問題的收斂性。該問題的標(biāo)的方程是一個(gè)二階非散度退化拋物型方程,亦即方程中的首項(xiàng)系數(shù)在區(qū)域邊界處退化為零。文中的最大困難在于主項(xiàng)系數(shù)是未知的,而方程的退化程度通常是由主項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)所決定的。另一方面,為了討論退化方程,通常需要引入一些賦權(quán)的Sobolev空間,而這些空間也是與主項(xiàng)系數(shù)相關(guān)的。為了克服這一困難,引入了一些新的源條件,并對主項(xiàng)系數(shù)的允許函數(shù)類附加了較強(qiáng)的正則性條件,最終成功地證明了最優(yōu)解的收斂性。第三章主要研究了一類利用終端觀測值重構(gòu)二階Schrodinger方程零階項(xiàng)系數(shù)的反問題。Schrodinger方程最大的特點(diǎn)在于它的解是復(fù)值函數(shù)并且該模型的正問題是線性的,但反問題卻是非線性且嚴(yán)重不適定的�；谧顑�(yōu)控制理論框架,將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)控制問題,利用Gateaux導(dǎo)數(shù)理論和Poincare不等式得到了帶有誤差擾動(dòng)的輸入數(shù)據(jù)極小元的收斂性。第四章研究了一類利用附加條件重構(gòu)二階退化拋物型方程輻射系數(shù)的反問題�；谧顑�(yōu)控制理論,并利用全變差正則化方法,將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題。文中的附加條件并非通常意義下的終端觀測值,而是平均意義下的觀測數(shù)據(jù)。由于全變差的不可微性,很難處理控制問題唯一最優(yōu)解的證明。為了克服這一困難,引入了一個(gè)磨光全變差正則化項(xiàng),進(jìn)而討論了最優(yōu)解的存在性和所滿足的必要條件,最后利用能量估計(jì)及得到的必要條件,在假設(shè)終端時(shí)刻比較小的情況下,成功地證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。第五章是總結(jié)與展望部分。后續(xù)的工作主要從兩方面考慮:一方面本文研究對象是一維的,以后將考慮高維的情形。另一方面對于本文的問題可以考慮從帶TV型罰項(xiàng)方向研究。
【學(xué)位授予單位】：蘭州交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.26

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前3條

1 郭寶琦;陳小宏;;關(guān)于具有自由邊界的一類雙曲型方程組的系數(shù)反問題[J];哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào);1989年05期

2 郭寶琦,楊光;一維線性雙曲型方程邊界值反問題(英文)[J];哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào);1989年02期

3 喻文煥;關(guān)于一類雙曲方程反問題解的存在性和唯一性[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);1988年01期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 楊柳;具奇異或退化性質(zhì)的二階拋物型方程的系數(shù)反演問題[D];蘭州大學(xué);2016年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前1條

1 蔡超;三類發(fā)展型方程的系數(shù)反演問題[D];蘭州交通大學(xué);2016年

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本文編號(hào)：2665310