【摘要】：隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,偏微分方程被用于描述越來越多的物理學(xué)、化學(xué)、地質(zhì)、材料等實(shí)際問題。由于大多數(shù)偏微分方程的精確解很難用解析形式表示,諸多學(xué)者紛紛從數(shù)值算法的角度對(duì)偏微分方程進(jìn)行研究,設(shè)計(jì)了各種各樣的數(shù)值算法。眾所周知,很多偏微分方程自身都具有一些原問題的本質(zhì)特征。如何設(shè)計(jì)高效、穩(wěn)定且保持方程本身特性的數(shù)值算法,成為數(shù)值算法的重要目標(biāo)。1.能量守恒和質(zhì)量守恒不僅是力學(xué)系統(tǒng)的重要守恒量,也是評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)值算法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。因此,構(gòu)造保能量守恒和質(zhì)量守恒的算法引起了諸多科研工作者的興趣。我們發(fā)現(xiàn),相關(guān)的基于有限差分方法和譜配置方法的工作已有較多的積累,本文嘗試基于Galerkin譜元算法討論保結(jié)構(gòu)算法。我們證明了基于線性元半離散耦合非線性薛定諤方程的Hamiltonian性質(zhì)。隨后,我們嚴(yán)格證明了 Galerkin譜元算法保離散能量守恒律和質(zhì)量守恒律。我們利用插值理論、投影理論等,證明了 Galerkin譜元算法的收斂性。為了提高計(jì)算效率,我們采用矩陣對(duì)角化方法和快速算法,對(duì)Galerkin譜元算法進(jìn)行顯式化處理,減少計(jì)算規(guī)模。最后,數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新算法不僅能得到較好的數(shù)值解,而且能保質(zhì)量守恒和能量守恒。通過與文獻(xiàn)中已有算法比較,本文算法能更好地保質(zhì)量守恒和能量守恒。2.辛守恒是哈密爾頓系統(tǒng)的最重要的幾何性質(zhì)。早在1984年,馮康先生提出了辛算法的概念。辛算法在解的穩(wěn)定性、有效性以及長(zhǎng)時(shí)間精確模擬解的行為方面有出色的表現(xiàn)。因此,文獻(xiàn)中出現(xiàn)了很多哈密爾頓偏微分方程辛算法的研究成果。據(jù)我們所知,多數(shù)辛算法主要基于有限差分方法、小波方法、Fourier擬譜方法,而沒有基于Galerkin有限元的辛算法。文獻(xiàn)中關(guān)于二維哈密爾頓系統(tǒng)的辛算法討論也很少。另外,我們發(fā)現(xiàn)辛算法主要是隱式的,這會(huì)很大程度影響計(jì)算效率。因此,本文我們嘗試為二維非線性薛定諤方程構(gòu)造Galerkin分裂辛算法,即在空間方向用Galerkin有限元方法離散得到一個(gè)哈密爾頓半離散系統(tǒng),再利用Strang分裂方法將半離散系統(tǒng)分裂成兩個(gè)子系統(tǒng),一個(gè)是線性哈密爾頓子系統(tǒng),一個(gè)是非線性子系統(tǒng),其中利用辛中點(diǎn)在時(shí)間方向離散線性子系統(tǒng),而對(duì)非線性子系統(tǒng)精確求解,從而得到一個(gè)保辛的全隱的數(shù)值算法。考慮計(jì)算規(guī)模比較大,我們引入FFT技術(shù)和矩陣對(duì)角化方法,將數(shù)值算法進(jìn)行顯式化處理,克服了隱式算法計(jì)算效率低的弱點(diǎn)。我們理論證明了 Galerkin分裂辛算法的穩(wěn)定性及守恒性。最后,數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新的算法不僅能得到較好的數(shù)值解,而且能保系統(tǒng)的質(zhì)量守恒。通過與文獻(xiàn)中已有數(shù)值算法的比較,展現(xiàn)了 Galerkin分裂辛算法具有計(jì)算效率高等優(yōu)勢(shì)。3.目前基于Hamiltonian保結(jié)構(gòu)算法已經(jīng)很多的工作。我們嘗試對(duì)帶能量耗散的偏微分方程進(jìn)行保結(jié)構(gòu)算法的研究。帶能量耗散的偏微分方程方程包含更多的動(dòng)力系統(tǒng),并且應(yīng)用更為廣泛,如:Birkhoffian動(dòng)力系統(tǒng),高震蕩系統(tǒng),共形Hamiltonian系統(tǒng)等。接下來,我們主要考慮帶能量耗散的Cahn-Hilliard方程。不可壓縮多相流問題是多材料混合流體力學(xué)系統(tǒng)中的熱門問題。Cahn-Hilliard方程是處理不可壓縮多相流自由界面問題的最常用的相場(chǎng)模型。能量耗散是相場(chǎng)模型系統(tǒng)的重要性質(zhì)。目前,文獻(xiàn)中已有大量關(guān)于Cahn-Hilliard方程的研究成果。我們注意到已有的成果主要基于全局能量耗散的性質(zhì)。本文,我們發(fā)現(xiàn)Cahn-Hilliard方程具有一個(gè)局部能量耗散的性質(zhì)。局部能量耗散性質(zhì)不依賴于任何邊界條件,能最大程度保留了原系統(tǒng)的信息。基于這一發(fā)現(xiàn),我們利用復(fù)合構(gòu)造方法和離散變分導(dǎo)方法,嘗試為Cahn-Hilliard方程構(gòu)造了三個(gè)局部保結(jié)構(gòu)算法,嚴(yán)格證明了三個(gè)算法保局部能量耗散的性質(zhì)。當(dāng)給定合適的邊界條件時(shí),三個(gè)算法保全局能量耗散的性質(zhì)也得到了證明。最后,數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新的數(shù)值算法不僅能得到較好的數(shù)值解,而且保系統(tǒng)能量耗散的性質(zhì)和質(zhì)量守恒。4.對(duì)Cahn-Hilliard方程已有的大量數(shù)值研究成果研究發(fā)現(xiàn),顯式的數(shù)值算法易于計(jì)算,但往往對(duì)步長(zhǎng)有一定的限制,而隱式的數(shù)值算法一般會(huì)影響計(jì)算效率,但通常保全局能量耗散性質(zhì)。因此,保能量耗散的線性隱的數(shù)值算法成為較好的選擇。因此,學(xué)者們嘗試為Cahn-Hilliard方程構(gòu)造線性隱的保全局能量耗散的算法。目前,凸分裂方法、線性穩(wěn)定化方法和能量二次化方法是構(gòu)造線性隱式的全局保能量耗散算法最常用的方法,而基于保局部能量耗散性質(zhì)構(gòu)造線性隱式的數(shù)值算法仍是空白。因此,本文我們嘗試為帶變系數(shù)的Cahn-Hilliard方程構(gòu)造線性隱的保局部能量耗散的算法。類似的,我們證明了帶變系數(shù)的Cahn-Hilliard方程具有一個(gè)局部能量耗散性質(zhì)�；谶@一發(fā)現(xiàn),本文我們利用能量二次化方法與復(fù)合構(gòu)造方法,嘗試為帶變系數(shù)的Cahn-Hilliard方程構(gòu)造了四個(gè)線性隱的保局部能量耗散的算法,并利用離散萊布尼茲法則,理論上嚴(yán)格證明了新算法保局部能量耗散的性質(zhì)。當(dāng)給定適當(dāng)邊界條件時(shí),我們證明了新算法保全局能量耗散和質(zhì)量守恒的性質(zhì)。
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：2664478